Uma escada com 13 m de comprimento está apoiada numa parede vertical e alta. Num determinado instante a extremidade inferior, que se encontra a 5 m da parede, está escorregando, afastando-se da parede a uma velocidade de 2 m / s. Com que velocidade o topo da escada está deslizando neste momento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma escada de 13 metros que está apoiada numa parede vertical. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de 2 metros por segundo, e nessa hora específica, a base está a 5 metros da parede. A pergunta é: com que velocidade o topo da escada está descendo pela parede nesse momento?
Para resolver isso, vamos usar o teorema de Pitágoras e um pouco de diferenciação para relacionar as velocidades. Precisaremos entender como as mudanças nas distâncias estão relacionadas umas com as outras ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A escada é a hipotenusa de comprimento 13 metros.
  • A distância da base da escada à parede é um dos catetos, que chamaremos de $ x $.
  • A altura que o topo da escada alcança na parede é o outro cateto, que chamaremos de $ y $.
O teorema de Pitágoras nos diz que:
x
y

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo $ t $. Isso nos ajudará a relacionar as taxas de variação de $ x $ e $ y $:
t
x
Simplificando, temos:
y

Passo 4

Queremos encontrar $ \frac{dy}{dt} $, que é a velocidade com que o topo da escada está descendo. Vamos isolar $ \frac{dy}{dt} $:
dydt
dydt

Passo 5

Sabemos que $ x = 5 , m $ e $ \frac{dx}{dt} = 2 , m/s $. Precisamos encontrar $ y $ quando $ x = 5 , m $. Usando o teorema de Pitágoras:
x = 5 , m
dxdt = 2 , m/s
y
x = 5 , m

Passo 6

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação de $ \frac{dy}{dt} $:
dydt
dydt = -512 cdot 2
dydt = -1012

Resposta

O topo da escada está descendo pela parede a uma velocidade de -56 metros por segundo nesse momento.

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