Um banco possui 800 terminais de auto-atendimento instalados no estado de SC. Avaliando 48 terminais, 6 apresentaram defeitos.
a) Estime o intervalo da proporção de terminais com defeitos.
b) Você considera o intervalo de confiança obtido na letra a preciso para estimar a proporção de terminais com defeitos? JUSTIFIQUE
a) Estime o intervalo da proporção de terminais com defeitos.
b) Você considera o intervalo de confiança obtido na letra a preciso para estimar a proporção de terminais com defeitos? JUSTIFIQUE
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados que peguei do enunciado:
- Tamanho da população de terminais:
. - Tamanho da amostra examinada:
. - Número de terminais com defeito na amostra:
.
- Tamanho da população de terminais:
- O enunciado pede duas coisas:
- Estimar o intervalo da proporção de terminais com defeitos (isto é, um intervalo de confiança para a proporção populacional).
- Dizer se o intervalo obtido é preciso para estimar a proporção e justificar essa resposta.
Passo 2
Escolha do nível de confiança e do método (e por que):
- O enunciado não especificou o nível de confiança; o padrão em estatística é usar
. Vou assumir . - Para proporções, um intervalo clássico usa a aproximação normal (intervalo de Wald) quando
e não são muito pequenos. Vou verificar essa condição e, como a amostra é retirada de uma população finita ( ) com razão , é apropriado aplicar a correção de população finita (fpc). - Fórmulas que vou usar (explico cada símbolo quando aparecerem):
- Estimador da proporção:
. - Erro padrão da proporção sem correção de finitude:
Aqui é a proporção amostral e o tamanho da amostra. - Correção de população finita (fpc):
Essa fator reduz o erro padrão quando a amostra é uma fração não desprezível da população. - Erro padrão com fpc:
- Para nível de confiança
, o quantil da normal padrão é . A margem de erro (ME) é - Intervalo de confiança:
- Estimador da proporção:
Passo 3
Calcular a proporção amostral
:
Explicando: isso significa que, na amostra,
dos terminais estavam com defeito.
Passo 4
Verificar condições da aproximação normal:
Como ambos são maiores que
, a aproximação normal é aceitável para construir um intervalo aproximado. (Esse é um critério prático para validar o uso da fórmula do erro padrão acima.)
Passo 5
Calcular o erro padrão sem fpc e a fpc:
- Primeiro a variância amostral
: - Erro padrão sem fpc:
(Aqui mostrei a divisão antes de extrair raiz para você poder seguir passo a passo.) - Correção de população finita:
Passo 6
Aplicar a fpc e calcular o erro padrão final e a margem de erro:
- Erro padrão com fpc:
- Margem de erro para
:
Passo 7
Construir o intervalo de confiança:
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Passo 8
Responder se o intervalo é preciso — análise e justificativa (parte b):
- O intervalo obtido tem largura total aproximadamente
ou seja, cerca de pontos percentuais. Isso é relativamente largo em relação ao valor estimado . - Interpretação prática: com
de confiança a proporção verdadeira de terminais defeituosos está entre cerca de e . Essa incerteza é grande: o limite superior é quase sete vezes o limite inferior em termos relativos, e a amplitude de pode ser considerada pouco precisa para decisões operacionais. - Causa principal: a amostra é relativamente pequena (
), o que produz um erro padrão não negligenciável mesmo com fpc. - Exemplo numérico de quanto seria necessário para ficar mais preciso: se desejarmos uma margem de erro de, digamos,
(i.e., pontos percentuais) ao nível , podemos estimar o necessário por: Substituindo , , : Aplicando a correção para população finita: Ou seja, seriam necessários cerca de terminais inspecionados (em vez de 48) para reduzir a margem de erro para cerca de pontos percentuais. - Conclusão da precisão: portanto, não considero o intervalo obtido preciso para estimar a proporção se a necessidade for uma estimativa estreita; ele é informativo, mas bastante largo. Se a precisão exigida pela aplicação for baixa (por exemplo, só saber ordem de grandeza), pode ser aceitável; caso contrário, é necessário aumentar a amostra.
Resposta
a) Intervalo de confiança de
:
(aprox.
a
).
b) Não. O intervalo é relativamente largo (amplitude ~ ), indicando imprecisão; aumentar a amostra (ex.: para ~
observações) reduziria a margem de erro.
b) Não. O intervalo é relativamente largo (amplitude ~