Um banco possui 800 terminais de auto-atendimento instalados no estado de SC. Avaliando 48 terminais, 6 apresentaram defeitos.
a) Estime o intervalo da proporção de terminais com defeitos.
b) Você considera o intervalo de confiança obtido na letra a preciso para estimar a proporção de terminais com defeitos? JUSTIFIQUE

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados que peguei do enunciado:
    • Tamanho da população de terminais: N=800.
    • Tamanho da amostra examinada: n=48.
    • Número de terminais com defeito na amostra: x=6.
  • O enunciado pede duas coisas:
    1. Estimar o intervalo da proporção de terminais com defeitos (isto é, um intervalo de confiança para a proporção populacional).
    2. Dizer se o intervalo obtido é preciso para estimar a proporção e justificar essa resposta.

Passo 2

Escolha do nível de confiança e do método (e por que):
  • O enunciado não especificou o nível de confiança; o padrão em estatística é usar 95\%. Vou assumir 95\%.
  • Para proporções, um intervalo clássico usa a aproximação normal (intervalo de Wald) quando np e n(1-p) não são muito pequenos. Vou verificar essa condição e, como a amostra é retirada de uma população finita ( N=800) com razão n/N=48/800=0{,}06>0{,}05, é apropriado aplicar a correção de população finita (fpc).
  • Fórmulas que vou usar (explico cada símbolo quando aparecerem):
    • Estimador da proporção: \hat{p}=\dfrac{x}{n}.
    • Erro padrão da proporção sem correção de finitude: \operatorname{SE}_{\text{sem fpc}}=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.Aqui \hat{p} é a proporção amostral e n o tamanho da amostra.
    • Correção de população finita (fpc): \text{fpc}=\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}.Essa fator reduz o erro padrão quando a amostra é uma fração não desprezível da população.
    • Erro padrão com fpc: \operatorname{SE}=\operatorname{SE}_{\text{sem fpc}}\times\text{fpc}.
    • Para nível de confiança 95\%, o quantil da normal padrão é z_{0,025}=1{,}96. A margem de erro (ME) é \text{ME}=z_{0,025}\times\operatorname{SE}.
    • Intervalo de confiança: \left[\hat{p}-\text{ME},\\ \hat{p}+\text{ME}\right].

Passo 3

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{6}{48}=0{,}125.
Explicando: isso significa que, na amostra, 12{,}5\% dos terminais estavam com defeito.

Passo 4

Verificar condições da aproximação normal:
n\hat{p}=48\times0{,}125=6,\qquad n(1-\hat{p})=48\times0{,}875=42.
Como ambos são maiores que 5, a aproximação normal é aceitável para construir um intervalo aproximado. (Esse é um critério prático para validar o uso da fórmula do erro padrão acima.)

Passo 5

Calcular o erro padrão sem fpc e a fpc:
  • Primeiro a variância amostral \hat{p}(1-\hat{p}): \hat{p}(1-\hat{p})=0{,}125\times0{,}875=0{,}109375.
  • Erro padrão sem fpc: \operatorname{SE}_{\text{sem fpc}}=\sqrt{\dfrac{0{,}109375}{48}}=\sqrt{0{,}0022786458333\ldots}\approx0{,}04774.(Aqui mostrei a divisão antes de extrair raiz para você poder seguir passo a passo.)
  • Correção de população finita: \text{fpc}=\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{800-48}{800-1}}=\sqrt{\dfrac{752}{799}}\approx\sqrt{0{,}94117647}\approx0{,}97026.

Passo 6

Aplicar a fpc e calcular o erro padrão final e a margem de erro:
  • Erro padrão com fpc: \operatorname{SE}=\operatorname{SE}_{\text{sem fpc}}\times\text{fpc}\approx0{,}04774\times0{,}97026\approx0{,}04631.
  • Margem de erro para 95\%: \text{ME}=1{,}96\times0{,}04631\approx0{,}09073.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança:
\left[\hat{p}-\text{ME},\\ \hat{p}+\text{ME}\right]=\left[0{,}125-0{,}09073,\\\ 0{,}125+0{,}09073\right]\approx\left[0{,}03427,\\\ 0{,}21573\right].
Em porcentagem isso é aproximadamente [3{,}43\% ,\\\ 21{,}57\%].

Passo 8

Responder se o intervalo é preciso — análise e justificativa (parte b):
  • O intervalo obtido tem largura total aproximadamente 2\times\text{ME}\approx2\times0{,}09073\approx0{,}18146,ou seja, cerca de 18{,}1 pontos percentuais. Isso é relativamente largo em relação ao valor estimado \hat{p}=12{,}5\%.
  • Interpretação prática: com 95\% de confiança a proporção verdadeira de terminais defeituosos está entre cerca de 3{,}4\% e 21{,}6\%. Essa incerteza é grande: o limite superior é quase sete vezes o limite inferior em termos relativos, e a amplitude de ~18\% pode ser considerada pouco precisa para decisões operacionais.
  • Causa principal: a amostra é relativamente pequena ( n=48), o que produz um erro padrão não negligenciável mesmo com fpc.
  • Exemplo numérico de quanto seria necessário para ficar mais preciso: se desejarmos uma margem de erro de, digamos, e=0{,}03 (i.e., \pm3 pontos percentuais) ao nível 95\%, podemos estimar o n necessário por: n_0=\dfrac{z_{0,025}^2\hat{p}(1-\hat{p})}{e^2}.Substituindo z_{0,025}=1{,}96, \hat{p}=0{,}125, e=0{,}03: n_0\approx\dfrac{1{,}96^2\times0{,}109375}{0{,}03^2}\approx468.Aplicando a correção para população finita: n=\dfrac{N\,n_0}{N+n_0-1}\approx\dfrac{800\times468}{800+468-1}\approx296.Ou seja, seriam necessários cerca de 300 terminais inspecionados (em vez de 48) para reduzir a margem de erro para cerca de 3 pontos percentuais.
  • Conclusão da precisão: portanto, não considero o intervalo obtido preciso para estimar a proporção se a necessidade for uma estimativa estreita; ele é informativo, mas bastante largo. Se a precisão exigida pela aplicação for baixa (por exemplo, só saber ordem de grandeza), pode ser aceitável; caso contrário, é necessário aumentar a amostra.

Resposta

a) Intervalo de confiança de 95\%: \left[0{,}03427,\\\ 0{,}21573\right] (aprox. 3{,}43\% a 21{,}57\%).
b) Não. O intervalo é relativamente largo (amplitude ~ 18{,}1\%), indicando imprecisão; aumentar a amostra (ex.: para ~ 300 observações) reduziria a margem de erro.

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