Carlinhos completou 5 voltas e meia correndo ao longo de uma pista circular. Em seguida, inverteu o sentido e correu mais quatro voltas e um terço, faltando 40 metros para chegar ao ponto de início. Quantos metros tem essa pista de corrida?
(a) 48
(b) 120
© 200
(d) 240
(e) 300
(a) 48
(b) 120
© 200
(d) 240
(e) 300
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o Carlinhos fez nessa corrida. Ele correu 5 voltas e meia numa pista circular, depois mudou de direção e fez mais 4 voltas e um terço. Depois disso, faltaram 40 metros para ele voltar ao ponto de onde começou. O que precisamos descobrir aqui é o comprimento da pista de corrida. Para resolver isso, vamos usar conceitos de proporcionalidade e álgebra para encontrar o valor da pista.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o comprimento da pista de $ C $ metros. Isso vai nos ajudar a montar as equações necessárias. Quando o Carlinhos corre 5 voltas e meia, a distância que ele percorre é:
Passo 3
Depois, ele inverteu o sentido e correu mais 4 voltas e um terço. A distância dessa parte é:
Passo 4
Ao todo, a distância que o Carlinhos correu foi a soma dessas duas partes menos os 40 metros que faltaram para ele chegar ao ponto de início. Então, temos:
Mas na verdade, como ele está tentando voltar ao ponto de partida, a distância total que ele percorreu deve ser igual a um número inteiro de voltas mais os 40 metros que faltaram. Então, ajustamos a equação para:
Onde $ k $ é o número total de voltas completas que ele teria dado até o ponto de início.
Passo 5
Vamos somar as frações:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, queremos expressar $ kC $ em termos de $ C $. Subtraindo $ \frac{59}{6}C $ de ambos os lados:
Passo 7
Assumindo que $ k $ seja uma volta completa, ou seja, $ k = \frac{59}{6} + \frac{40}{C} $. Para $ k $ ser inteiro, $ \frac{40}{C} $ também deve ser uma fração que, somada a $ \frac{59}{6} $, resulte em um número inteiro. Vamos tentar descobrir qual valor de $ C $ entre as opções faz isso acontecer.
Passo 8
Vamos testar as opções:
a) 48 metros:
b) 120 metros:
As outras opções não precisam ser testadas, pois já encontramos que a opção a) funciona.
Resposta
A pista de corrida tem 48 metros, portanto a alternativa correta é a (a) 48.