Sejam \vec{F}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+e^{t} \vec{k} e \vec{G}(t)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Calcule
\int_{0}^{1}(\vec{F}(t) \cdot \vec{G}(t)) d t

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais \vec F(t)=t\vec i+\vec j+e^t\vec k e \vec G(t)=\vec i+\vec j+\vec k, e pede o valor de
\int_{0}^{1}\bigl(\vec F(t)\cdot\vec G(t)\bigr)\,dt.
O conteúdo necessário é o produto escalar de vetores e a integração de uma função escalar.

Passo 2

Calcular o produto escalar \vec F(t)\cdot\vec G(t). Pela definição \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,
\vec F(t)\cdot\vec G(t) = t\cdot1 + 1\cdot1 + e^t\cdot1 = t + 1 + e^t.

Passo 3

Substituir na integral e usar linearidade:
\int_{0}^{1}\bigl(t+1+e^t\bigr)\,dt = \int_{0}^{1}t\,dt \;+\;\int_{0}^{1}1\,dt\;+\;\int_{0}^{1}e^t\,dt.

Passo 4

Determinar as antiderivadas: \int t\,dt = \tfrac{t^2}{2}, \int 1\,dt = t e \int e^t\,dt = e^t.

Passo 5

Avaliar em 0 e 1:
\int_{0}^{1}t\,dt = \Bigl[\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac12,
\int_{0}^{1}1\,dt = [t]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1}e^t\,dt = [e^t]_{0}^{1} = e - 1.

Passo 6

Somar os termos:
\tfrac12 + 1 + (e - 1) = e + \tfrac12.

Resposta

e + \tfrac{1}{2}

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