Problema aplicado a uma situação cotidiana. Maria mora no 15^{\circ} andar de um prédio e todos os dias observa que o elevador acelera suavemente ao sair do térreo, mantém velocidade constante no meio do percurso, e desacelera gradualmente antes de parar no seu andar.
Considere a velocidade do elevador em função do tempo seja dada por:
v(t)=\frac{30 t}{t^{2}+4}
metros por minuto. Responda.
(a) O que acontece com a velocidade do elevador quando t \longrightarrow \infty ? O resultado faz sentido fisicamente?
(b) Como o resultado do item anterior se relaciona com sistemas de segurança em elevadores?
(c) Cite outros fenômenos cotidianos que seguem esse padrão matemático.

Passo 1

O enunciado descreve a velocidade do elevador de Maria em função do tempo como
v(t)=\frac{30\,t}{t^{2}+4}
metros por minuto, e pede:
(a) o comportamento de v(t) quando t\to\infty;
(b) interpretação física e relação com sistemas de segurança;
(c) exemplos de outros fenômenos cotidianos que seguem esse padrão de aceleração–cruzeiro–desaceleração.

Passo 2

Para calcular
\lim_{t\to\infty}v(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{30\,t}{t^{2}+4}
fatoramos t no denominador:
\frac{30\,t}{t^{2}+4}=\frac{30\,t}{t^{2}\bigl(1+4/t^{2}\bigr)} =\frac{30}{t\bigl(1+4/t^{2}\bigr)}.
Como 4/t^{2}\to0 e t\to\infty, vem
\lim_{t\to\infty}v(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{30}{t\,(1+0)}=0.

Passo 3

Fisicamente, v(t)\to0 significa que, passado tempo suficiente, o elevador desacelera e para: faz sentido, pois todo trajeto acaba num andar, não em velocidade constante infinita.
No contexto de segurança, elevadores usam um “governador de velocidade” que aciona freios se a velocidade ultrapassar certos limites. O perfil de v(t) mostra um pico e depois queda suave, o que ilustra a exigência de normas: a desaceleração deve ser gradual para evitar solavancos e garantir que, por fim, v atinja zero de forma controlada.

Passo 4

Outros fenômenos com aceleração inicial, platô de velocidade (ou taxa) e desaceleração final incluem:
– Um carro que sai do semáforo, atinge velocidade de cruzeiro na estrada e depois freia ao chegar num sinal.
– Um trem ou metrô em que o motor acelera até velocidade comercial, mantém-na e depois reduz ao aproximar da estação.
– Uma montanha-russa: acelera na descida, mantém velocidade nos trechos retos e freia na chegada.
– A concentração de um fármaco no sangue após dose única, que sobe, atinge pico e depois decai (modelo tipo t\,e^{-kt}).
– A corrente em um circuito RLC em resposta a um pulso: sobe, chega ao máximo e depois amortece e vai a zero.

Resposta

(a) \displaystyle\lim_{t\to\infty}v(t)=0. Fisicamente indica que o elevador para após tempo longo, o que faz sentido.
(b) Esse comportamento de pico seguido de queda mostra a necessidade de sistemas de segurança (governador de velocidade e freios) que garantam desaceleração suave até v=0, evitando paradas bruscas.
(c) Exemplos: carros saindo e freando, trens/metrôs acelerando e desacelerando, montanhas-russas, concentração de remédios no organismo e corrente em circuito RLC amortecido.

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