Um carregamento tracional de 200 N é aplicado a um material compósito cuja seção transversal mede 1,0 \mathrm{~mm}^{2} .O volume de fibras no compósito, orientadas paralelamente, corresponde a 40 \%. Sabendo-se que a razão entre os módulos elásticos da fibra e da matriz é igual a 7, determinar a tensão nas fibras.

Passo 1

O enunciado pede que se determine a tensão nas fibras quando um carregamento de \,200\\ \mathrm{N} é aplicado a um compósito cuja seção transversal é \,1,0\\ \mathrm{mm}^2. As informações relevantes são:
  • Força aplicada: \,F=200\\ \mathrm{N}.
  • Área total da seção: \,A_{\text{tot}}=1,0\\ \mathrm{mm}^2.
  • Fração volumétrica de fibras (orientadas paralelamente à carga): \,V_f=0,40.
  • Fração volumétrica da matriz: \,V_m=1-V_f=0,60.
  • Razão entre os módulos elásticos: \dfrac{E_f}{E_m}=7.
    A pergunta única é: qual é a tensão nas fibras \sigma_f sob esse carregamento?

Passo 2

Entendendo o comportamento do compósito (ideia física e hipótese usada)
  • Como as fibras estão orientadas paralelamente à direção da tração, assume-se que fibras e matriz deformam-se igualmente na direção do carregamento; isto é, eles têm a mesma deformação (mesma elongação relativa). Essa hipótese chama-se hipótese de iso-deformação (iso-strain) e é apropriada para fibras contínuas alinhadas.
  • Com iso-deformação vale que a tensão em cada constituinte é proporcional ao seu módulo: \sigma_f=E_f\,\epsilon e \sigma_m=E_m\,\epsilon, onde \epsilon é a mesma para ambos.
  • A força total é a soma das forças nos constituintes: \,F=\sigma_f A_f + \sigma_m A_m. Dividindo por A_{\text{tot}} obtemos a tensão média composta \sigma_c:
\sigma_c = V_f \sigma_f + V_m \sigma_m.
Isto é a forma elemental da “regra das misturas” para compósitos em arranjo paralelo.

Passo 3

Relacionando \sigma_f com a tensão composta \sigma_c
  • Usando \sigma_f=E_f\epsilon e \sigma_m=E_m\epsilon na expressão de \sigma_c:
\sigma_c = V_f E_f \epsilon + V_m E_m \epsilon = (V_f E_f + V_m E_m)\,\epsilon.
  • Definindo o módulo efetivo do compósito \,E_c = V_f E_f + V_m E_m, temos \sigma_c = E_c\,\epsilon. Assim \epsilon = \dfrac{\sigma_c}{E_c}.
  • Portanto a tensão nas fibras é
\sigma_f = E_f\,\epsilon = E_f\frac{\sigma_c}{E_c} = \frac{E_f}{E_c}\,\sigma_c.
Essa fórmula diz que a fração da tensão total que cai nas fibras depende da razão entre E_f e o módulo efetivo E_c.

Passo 4

Expressão prática usando a razão E_f/E_m
  • Escrevendo E_m=E e E_f=7E (já que \dfrac{E_f}{E_m}=7), calcula-se
E_c = V_f E_f + V_m E_m = E\big( V_f\cdot 7 + V_m\cdot 1\big)=E\big(7V_f + (1-V_f)\big)=E\big(1+6V_f\big).
  • Assim a razão \dfrac{E_f}{E_c} fica
\frac{E_f}{E_c}=\frac{7E}{E(1+6V_f)}=\frac{7}{1+6V_f}.
Logo
\sigma_f = \frac{7}{1+6V_f}\,\sigma_c.

Passo 5

Cálculo da tensão composta \sigma_c a partir da força e da área
  • Converter a área para unidades SI:
A_{\text{tot}}=1,0\\ \mathrm{mm}^2 = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
  • A tensão média aplicada ao compósito é
\sigma_c=\frac{F}{A_{\text{tot}}}=\frac{200\\ \mathrm{N}}{1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}=2,00\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=200\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Substituir números e obter \sigma_f
  • Usar \,V_f=0,40 na expressão do fator:
1+6V_f = 1+6\cdot0,40 = 1+2,4 = 3,4.
  • Portanto
\frac{7}{1+6V_f}=\frac{7}{3,4}\approx 2,058823529\approx 2,059.
  • Finalmente
\sigma_f \approx 2,058823529 \times 2,00\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} \approx 4,117647058\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando a uma precisão prática:
\sigma_f \approx 4,12\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 412\\ \mathrm{MPa}.

Resposta

\sigma_f \approx 4,12\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} = 412\\ \mathrm{MPa}

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