Um compósito produzido com fibras contínuas a alinhadas que tem uma seção transversal de 970 \mathrm{~mm}^{2} é submetido a uma carga longitudinal. As tensões suportadas respectivamente pela fase fibra e pela fase matriz são iguais a 215 MPa e 5,38 \mathrm{MPa}. A força suportada pela fase fibra é igual a 76800 N , e a deformação longitudinal do compósito é igual a 1,56 \times 10^{-3}. Considerando essas informações, calcule:
(a) a força suportada pela fase matriz;
(b) o módulo de elasticidade do compósito;
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra e matriz.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Área total da seção do compósito: A_c = 970\\ \mathrm{mm}^2.
  • Tensão na fase fibra: \sigma_f = 215\\ \mathrm{MPa}.
  • Tensão na fase matriz: \sigma_m = 5{,}38\\ \mathrm{MPa}.
  • Força suportada pela fibra: F_f = 76800\\ \mathrm{N}.
  • Deformação longitudinal do compósito (igual à deformação nas duas fases, por alinhamento): \varepsilon = 1{,}56\times 10^{-3}.
O enunciado pede:
(a) a força suportada pela fase matriz F_m;
(b) o módulo de elasticidade do compósito E_c;
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra E_f e matriz E_m.

Passo 2

Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada coisa):
  • Definição de tensão (stress): a tensão em uma fase é a força que essa fase carrega dividida pela sua área:
\sigma = \frac{F}{A}.
Aqui \sigma está em \mathrm{MPa} e 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2, então é conveniente trabalhar com A em \mathrm{mm}^2 e F em \mathrm{N}.
  • Lei de Hooke (no regime elástico linear): a tensão relaciona-se com a deformação por
\sigma = E\,\varepsilon,
onde E é o módulo de elasticidade (em \mathrm{MPa} se \sigma está em \mathrm{MPa} e \varepsilon é adimensional).
  • Para fibras contínuas alinhadas na direção da carga vale o caso de iso-deformação: a deformação longitudinal é a mesma nas duas fases. Logo cada módulo pode ser obtido por E_i=\sigma_i/\varepsilon.
  • A área da fibra A_f pode ser obtida a partir de F_f e \sigma_f por A_f=F_f/\sigma_f. A área da matriz é A_m=A_c-A_f.
  • A força na matriz é \;F_m=\sigma_m\,A_m.
  • O módulo do compósito pode ser obtido por duas vias equivalentes aqui: (i) E_c=(\text{tensão média do compósito})/\varepsilon = \dfrac{F_f+F_m}{A_c\,\varepsilon}ãéó ou (ii) regra das áreas (mistura em paralelo) E_c=v_f E_f + v_m E_m com v_i=A_i/A_c. Usarei a via direta (i) e depois conferirei com (ii).

Passo 3

Calcular a área da fibra A_f usando \;A_f=\dfrac{F_f}{\sigma_f}.
Aplicando os números (usar unidades compatíveis: \sigma em \mathrm{MPa}=\mathrm{N}/\mathrm{mm}^2):
A_f=\frac{76800}{215}\\ \mathrm{mm}^2.
Faço a divisão passo a passo:
A_f \approx 357{,}2093023255814\\ \mathrm{mm}^2.
Arredondando razoavelmente:
A_f \approx 357{,}209\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 4

Calcular a área da matriz A_m por subtração:
A_m = A_c - A_f = 970 - 357{,}2093023255814\\ \mathrm{mm}^2.
Portanto
A_m \approx 612{,}7906976744186\\ \mathrm{mm}^2,
ou seja
A_m \approx 612{,}791\\ \mathrm{mm}^2.

Passo 5

Calcular a força suportada pela matriz usando \;F_m=\sigma_m\,A_m.
Substituindo:
F_m = 5{,}38\\ \mathrm{MPa}\times 612{,}7906976744186\\ \mathrm{mm}^2.
Lembrando que 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N}/\mathrm{mm}^2, o produto dá força em newtons:
F_m \approx 3296{,}813952372093\\ \mathrm{N}.
Arredondando com senso prático:
F_m \approx 3296{,}81\\ \mathrm{N}.
(Isto responde a pergunta (a).)

Passo 6

Calcular a força total no compósito e a tensão média do compósito:
F_{\text{tot}} = F_f + F_m = 76800 + 3296{,}813952372093 \approx 80096{,}81395237209\\ \mathrm{N}.
A tensão média no compósito é
\sigma_c = \frac{F_{\text{tot}}}{A_c} = \frac{80096{,}81395237209}{970}\\ \mathrm{MPa}.
Fazendo a divisão:
\sigma_c \approx 82{,}574035\\ \mathrm{MPa}.

Passo 7

Calcular o módulo do compósito usando E_c=\sigma_c/\varepsilon.
Substituindo \varepsilon = 1{,}56\times 10^{-3}:
E_c = \frac{82{,}574035}{1{,}56\times 10^{-3}}\\ \mathrm{MPa}.
Calculando:
E_c \approx 52933{,}6006\\ \mathrm{MPa}.
Em unidades mais usuais de engenharia:
E_c \approx 52{,}93\\ \mathrm{GPa}.

Passo 8

Calcular os módulos das fases usando E_i=\sigma_i/\varepsilon (iso-deformação).
Para a fibra:
E_f = \frac{215}{1{,}56\times 10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 137820{,}51282\\ \mathrm{MPa} \approx 137{,}821\\ \mathrm{MPa}\approx 137{,}82\\ \mathrm{GPa}.
Para a matriz:
E_m = \frac{5{,}38}{1{,}56\times 10^{-3}}\\ \mathrm{MPa} \approx 3448{,}71794872\\ \mathrm{MPa} \approx 3448{,}72\\ \mathrm{MPa}\approx 3{,}449\\ \mathrm{GPa}.

Passo 9

Verificação rápida (checagem): usar a regra das misturas E_c=v_f E_f + v_m E_m com v_f=A_f/A_c e v_m=A_m/A_c. Calculando com os valores obtidos obtém-se o mesmo E_c (dentro de pequenas diferenças de arredondamento), o que confirma consistência dos resultados.

Resposta

(a) F_m \approx 3296{,}81\\ \mathrm{N}
(b) E_c \approx 52933{,}6\\ \mathrm{MPa} \approx 52{,}93\\ \mathrm{GPa}
(c) E_f \approx 137820{,}5\\ \mathrm{MPa} \approx 137{,}82\\ \mathrm{GPa}
E_m \approx 3448{,}72\\ \mathrm{MPa} \approx 3{,}449\\ \mathrm{GPa}

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