Um compósito produzido com fibras contínuas a alinhadas que tem uma seção transversal de
é submetido a uma carga longitudinal. As tensões suportadas respectivamente pela fase fibra e pela fase matriz são iguais a 215 MPa e
. A força suportada pela fase fibra é igual a 76800 N , e a deformação longitudinal do compósito é igual a
. Considerando essas informações, calcule:
(a) a força suportada pela fase matriz;
(b) o módulo de elasticidade do compósito;
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra e matriz.
(a) a força suportada pela fase matriz;
(b) o módulo de elasticidade do compósito;
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra e matriz.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede.
Dados (peguei todos estes valores do enunciado):
- Área total da seção do compósito:
. - Tensão na fase fibra:
. - Tensão na fase matriz:
. - Força suportada pela fibra:
. - Deformação longitudinal do compósito (igual à deformação nas duas fases, por alinhamento):
.
O enunciado pede:
(a) a força suportada pela fase matriz ;
(b) o módulo de elasticidade do compósito ;
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra e matriz
.
(a) a força suportada pela fase matriz
(b) o módulo de elasticidade do compósito
(c) os módulos de elasticidade das fases fibra
Passo 2
Principais fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando cada coisa):
- Definição de tensão (stress): a tensão em uma fase é a força que essa fase carrega dividida pela sua área:
Aqui
está em
e
, então é conveniente trabalhar com
em
e
em
.
- Lei de Hooke (no regime elástico linear): a tensão relaciona-se com a deformação por
onde
é o módulo de elasticidade (em
se
está em
e
é adimensional).
- Para fibras contínuas alinhadas na direção da carga vale o caso de iso-deformação: a deformação longitudinal é a mesma nas duas fases. Logo cada módulo pode ser obtido por
. - A área da fibra
pode ser obtida a partir de e por . A área da matriz é . - A força na matriz é
. - O módulo do compósito pode ser obtido por duas vias equivalentes aqui: (i)
ou (ii) regra das áreas (mistura em paralelo) com . Usarei a via direta (i) e depois conferirei com (ii).
Passo 3
Calcular a área da fibra
usando
.
Aplicando os números (usar unidades compatíveis:
em
):
Faço a divisão passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Passo 4
Calcular a área da matriz
por subtração:
Portanto
ou seja
Passo 5
Calcular a força suportada pela matriz usando
.
Substituindo:
Lembrando que
, o produto dá força em newtons:
Arredondando com senso prático:
(Isto responde a pergunta (a).)
Passo 6
Calcular a força total no compósito e a tensão média do compósito:
A tensão média no compósito é
Fazendo a divisão:
Passo 7
Calcular o módulo do compósito usando
.
Substituindo
:
Calculando:
Em unidades mais usuais de engenharia:
Passo 8
Calcular os módulos das fases usando
(iso-deformação).
Para a fibra:
Para a matriz:
Passo 9
Verificação rápida (checagem): usar a regra das misturas
com
e
. Calculando com os valores obtidos obtém-se o mesmo
(dentro de pequenas diferenças de arredondamento), o que confirma consistência dos resultados.
Resposta
(a)
(b)
(c)