O Al é CFC e tem parâmetro de rede “a” igual a 0,3158 \mathrm{~nm}. Calcule a densidade planar de átomos nos planos (100) e (111).

Passo 1

O enunciado dá que o Al (alumínio) tem estrutura cúbica de face centrada (CFC) e parâmetro de rede a=0,3158\\ \mathrm{nm}. Pede para calcular a densidade planar de átomos (ou seja, número de átomos por unidade de área) nos planos (100) e (111).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Estrutura: cúbica de face centrada (CFC).
  • Parâmetro de rede: a=0,3158\\ \mathrm{nm}.
  • Quantidade por célula unitária na CFC: 4 átomos por célula (informação de referência usada quando necessário).
As duas quantidades pedidas são:
  1. densidade planar no plano (100), isto é, número de átomos por área nesta família de planos;
  2. densidade planar no plano (111).

Passo 2

O que é “densidade planar de átomos” e como vamos calcular:
  • Definição: a densidade planar \rho_p para um plano cristalográfico é o número de centros atômicos (átomos) whose centers lie in that crystallographic plane divided by a convenient area of that plane (normalmente a área do célula-2D primitiva do arranjo de pontos do plano).
  • Estratégia prática: para um plano dado devemos (i) contar quantos átomos (ou frações de átomos) têm seus centros no plano dentro de uma célula apropriada e (ii) dividir esse número pela área do retículo 2D primitivo desse plano.
Vou aplicar essa ideia a cada plano. Sempre que eu usar uma fórmula ou vetor, explico o que cada símbolo significa.

Passo 3

Cálculo para o plano (100).
  1. Geometria do plano (100) numa célula cúbica:
  • Um plano (100) corresponde a uma face do cubo (por exemplo a face perpendicular ao eixo x). A área da face da célula convencional é
\text{área}_{(100)} = a^2.á
  1. Contagem de átomos com centros no plano (na face da célula):
  • Nos quatro cantos dessa face há quatro átomos de vértice; cada átomo de vértice pertence a 8 células unitárias (compartilhado por 8 cubos), portanto a contribuição de cada vértice para a face da célula considerada é 1/8. Soma dos vértices:
4\times\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.
  • Há também um átomo centrado na face (porque é CFC). Esse átomo de face é compartilhado entre duas células adjacentes ao longo da normal da face, logo contribui com 1/2 para a célula considerada.
  • Soma total de átomos “no plano (100) dentro da célula convencional”:
N_{(100)}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.
  1. Densidade planar \rho_{(100)} (átomos por unidade de área):
\rho_{(100)}=\frac{N_{(100)}}{\text{área}_{(100)}}=\frac{1}{a^2}.á
  1. Substituindo a=0,3158\\ \mathrm{nm}. Primeiro calculo a^2:
a^2=(0,3158)^2=0,09974964\\ \mathrm{nm}^2.
Portanto
\rho_{(100)}=\frac{1}{0,09974964}\approx 10,025\\ \text{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}.á

Passo 4

Cálculo para o plano (111).
Vou usar um método geométrico direto (encontrar o retículo 2D primitivo no plano e sua área). É didático e evita confusões com frações de átomos.
  1. Que pontos-lattice pertencem ao plano (111) escolhido?
    Tomando o plano que intercepta os eixos em (a,0,0),(0,a,0),(0,0,a), sua equação é x+y+z=a. Os pontos-lattice (centros atômicos) da rede cúbica CFC que pertencem a esse plano têm coordenadas (em unidades de a) como (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) e os centros de face (\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0),(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}),(0,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}). Esses pontos formam uma rede 2D regular no plano (111).
  2. Escolha de dois vetores de rede 2D primitivos (em coordenadas cartesianas) que ligam pontos-lattice no plano:
    Posso tomar, em unidades de comprimento,
\mathbf{v}_1 = a\left(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0\right), \qquad \mathbf{v}_2 = a\left(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\right).
Ambos são vetores que vão de um ponto-lattice a outros pontos-lattice no mesmo plano (111); portanto geram o retículo 2D primitivo desse plano.
  1. Área do célula-2D primitiva no plano (111): é a magnitude do produto vetorial \mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
    Calculo componente a componente (vou mostrar passo a passo):
\mathbf{v}_1 = a(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0),\qquad \mathbf{v}_2 = a(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}).
O produto vetorial (sem o fator a^2) é
(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2},0)\times(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}) = \bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\bigr).
A magnitude desse vetor é
\sqrt{\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\left(\tfrac{1}{4}\right)^2+\left(\tfrac{1}{4}\right)^2} = \tfrac{1}{4}\sqrt{3}.
Incluir o fator a^2 dá a área da célula-2D primitiva:
\text{área}_{(111)} = \left|\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2\right| = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.á
Observação: essa é a área do menor paralelogramo que repete o arranjo de pontos no plano (111).
  1. Número de átomos por célula-2D primitiva: cada ponto-lattice no plano corresponde a um átomo (a base é de um átomo por sítio de rede), então há 1 átomo por célula-2D primitiva.
  2. Densidade planar \rho_{(111)}:
\rho_{(111)}=\frac{1}{\text{área}_{(111)}}=\frac{1}{(\sqrt{3}/4)\,a^2}=\frac{4}{\sqrt{3}\,a^2}.á
  1. Substituindo numericamente a^2=0,09974964\\ \mathrm{nm}^2:
\rho_{(111)}=\frac{4}{\sqrt{3}\times 0,09974964} \approx 23,160\\ \text{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}.á

Resposta

\rho_{(100)} = \dfrac{1}{a^2} \approx 10,025\\ \text{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}á
\rho_{(111)} = \dfrac{4}{\sqrt{3}\,a^2} \approx 23,160\\ \text{átomos}\,\mathrm{nm}^{-2}á

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