O Al é CFC e tem parâmetro de rede “a” igual a
. Calcule a densidade planar de átomos nos planos (100) e (111).
Passo 1
O enunciado dá que o Al (alumínio) tem estrutura cúbica de face centrada (CFC) e parâmetro de rede
. Pede para calcular a densidade planar de átomos (ou seja, número de átomos por unidade de área) nos planos
e
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Estrutura: cúbica de face centrada (CFC).
- Parâmetro de rede:
. - Quantidade por célula unitária na CFC:
átomos por célula (informação de referência usada quando necessário).
As duas quantidades pedidas são:
- densidade planar no plano
, isto é, número de átomos por área nesta família de planos; - densidade planar no plano
.
Passo 2
O que é “densidade planar de átomos” e como vamos calcular:
- Definição: a densidade planar
para um plano cristalográfico é o número de centros atômicos (átomos) whose centers lie in that crystallographic plane divided by a convenient area of that plane (normalmente a área do célula-2D primitiva do arranjo de pontos do plano). - Estratégia prática: para um plano dado devemos (i) contar quantos átomos (ou frações de átomos) têm seus centros no plano dentro de uma célula apropriada e (ii) dividir esse número pela área do retículo 2D primitivo desse plano.
Vou aplicar essa ideia a cada plano. Sempre que eu usar uma fórmula ou vetor, explico o que cada símbolo significa.
Passo 3
Cálculo para o plano
.
- Geometria do plano
numa célula cúbica:
- Um plano
corresponde a uma face do cubo (por exemplo a face perpendicular ao eixo ). A área da face da célula convencional é
- Contagem de átomos com centros no plano (na face da célula):
- Nos quatro cantos dessa face há quatro átomos de vértice; cada átomo de vértice pertence a
células unitárias (compartilhado por 8 cubos), portanto a contribuição de cada vértice para a face da célula considerada é . Soma dos vértices:
- Há também um átomo centrado na face (porque é CFC). Esse átomo de face é compartilhado entre duas células adjacentes ao longo da normal da face, logo contribui com
para a célula considerada. - Soma total de átomos “no plano (100) dentro da célula convencional”:
- Densidade planar
(átomos por unidade de área):
- Substituindo
. Primeiro calculo :
Portanto
Passo 4
Cálculo para o plano
.
Vou usar um método geométrico direto (encontrar o retículo 2D primitivo no plano e sua área). É didático e evita confusões com frações de átomos.
-
Que pontos-lattice pertencem ao plano
escolhido?
Tomando o plano que intercepta os eixos em, sua equação é . Os pontos-lattice (centros atômicos) da rede cúbica CFC que pertencem a esse plano têm coordenadas (em unidades de ) como e os centros de face . Esses pontos formam uma rede 2D regular no plano . -
Escolha de dois vetores de rede 2D primitivos (em coordenadas cartesianas) que ligam pontos-lattice no plano:
Posso tomar, em unidades de comprimento,
Ambos são vetores que vão de um ponto-lattice a outros pontos-lattice no mesmo plano
; portanto geram o retículo 2D primitivo desse plano.
- Área do célula-2D primitiva no plano
: é a magnitude do produto vetorial .
Calculo componente a componente (vou mostrar passo a passo):
O produto vetorial (sem o fator
) é
A magnitude desse vetor é
Incluir o fator
dá a área da célula-2D primitiva:
Observação: essa é a área do menor paralelogramo que repete o arranjo de pontos no plano
.
-
Número de átomos por célula-2D primitiva: cada ponto-lattice no plano corresponde a um átomo (a base é de um átomo por sítio de rede), então há
átomo por célula-2D primitiva. -
Densidade planar
:
- Substituindo numericamente
: