Um carrinho de massa 200 kg está em movimento com uma velocidade de 25 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, no ponto mais alto de uma montanha russa, a 27 m do solo. Considere g=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a) Qual a energia mecânica do carrinho?
b) Qual será a velocidade do carrinho em um ponto rente ao solo? (Despreze perdas por atrito).

Passo 1

O enunciado dá um carrinho com as seguintes informações:
  • massa: m=200\\ \mathrm{kg}
  • velocidade no ponto mais alto: v_0=25\\ \mathrm{m/s}
  • altura desse ponto em relação ao solo: h=27\\ \mathrm{m}
  • aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}
Perguntas:
a) Qual a energia mecânica do carrinho no ponto mais alto?
b) Qual será a velocidade do carrinho quando estiver rente ao solo (desprezando atrito)?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Energia cinética: é a energia associada ao movimento. Para um corpo de massa m com velocidade v, a energia cinética é dada por
K=\tfrac{1}{2}mv^{2},
onde K é em joules (J), m em quilogramas (kg) e v em metros por segundo (m/s).
  • Energia potencial gravitacional: é a energia associada à posição em um campo gravitacional. Tomando uma referência de altura (aqui escolhemos o solo como referência, onde U=0), a energia potencial a uma altura h é
U=m g h,
onde g é a aceleração da gravidade em \mathrm{m/s^{2}} e h em metros.
  • Energia mecânica total (quando só atuam forças conservativas, como a gravidade) é a soma
E = K + U.
Se não há perdas (ex.: atrito), essa energia mecânica é conservada ao longo do movimento. Isso significa que a energia mecânica no ponto alto é igual à energia mecânica perto do solo.

Passo 3

Calcular a energia cinética do carrinho no ponto mais alto usando \;K=\tfrac{1}{2}mv^{2}.
Substituindo m=200\\ \mathrm{kg} e v_0=25\\ \mathrm{m/s}:
K_0 = \tfrac{1}{2}\cdot 200\cdot 25^{2}.
Agora calculamos passo a passo:
25^{2} = 625,
\tfrac{1}{2}\cdot 200 = 100,
K_0 = 100\cdot 625 = 62\,500\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia potencial do carrinho no ponto mais alto usando \;U=m g h.
Substituindo m=200\\ \mathrm{kg}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e h=27\\ \mathrm{m}:
U_0 = 200\cdot 9{,}81\cdot 27.
Calculemos em etapas:
9{,}81\cdot 27 = 9{,}81\cdot (20+7) = 9{,}81\cdot 20 + 9{,}81\cdot 7 = 196{,}2 + 68{,}67 = 264{,}87,
U_0 = 200\cdot 264{,}87 = 52\,974\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Somar as energias para obter a energia mecânica total no ponto mais alto:
E = K_0 + U_0 = 62\,500 + 52\,974 = 115\,474\\ \mathrm{J}.
Esse é o valor da energia mecânica total do carrinho (quando desprezamos perdas).

Passo 6

Agora vamos achar a velocidade quando o carrinho estiver rente ao solo. Como desprezamos perdas, a energia mecânica se conserva. No solo tomamos U_{\text{solo}}=0, então toda a energia mecânica vira energia cinética:
\tfrac{1}{2}m v_{\text{solo}}^{2} = E.
Despejando v_{\text{solo}}:
v_{\text{solo}} = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}.
Existe uma forma mais direta (muito usada em provas) que vem da mesma conservação e evita calcular E primeiro:
\tfrac{1}{2}m v_{\text{solo}}^{2} = \tfrac{1}{2}m v_{0}^{2} + m g h
dividindo por \tfrac{1}{2}m vem
v_{\text{solo}}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h,
o que é uma relação prática e rápida para achar a velocidade final quando a altura muda.

Passo 7

Calcular numericamente v_{\text{solo}} usando a fórmula direta v_{\text{solo}}^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h.
Substituindo v_{0}^{2}=25^{2}=625 e 2 g h = 2\cdot 9{,}81\cdot 27:
Já calculamos 9{,}81\cdot 27 = 264{,}87, então
2 g h = 2\cdot 264{,}87 = 529{,}74.
Somando:
v_{\text{solo}}^{2} = 625 + 529{,}74 = 1\,154{,}74.
Tomando raiz quadrada:
v_{\text{solo}} = \sqrt{1\,154{,}74}\approx 33{,}98\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma sensata (duas ou três casas significativas), podemos relatar v_{\text{solo}}\approx 34{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) 115\,474\\ \mathrm{J}
(b) 33{,}98\\ \mathrm{m/s} (aprox. 34{,}0\\ \mathrm{m/s})

Exercícios relacionados