Um cilindro maciço longo, năo-condutor, com
de raio, possui uma densidade volumétrica de carga năo-uniforme
que é funçā
da distância radial
a partir do eixo do cilindro:
. Para
, determine o módulo do campo elétrico (a) para
; (b) para
.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro maciço, não-condutor, de raio
com densidade volumétrica de carga não-uniforme
que depende da distância radial
ao eixo pela lei
com
. Pede-se o módulo do campo elétrico nos pontos:
(a) para (dentro do cilindro, pois
); (b) para
(fora do cilindro, pois
).\n
Informações úteis dadas: ,
, pontos
e
. Não há mais informações faltando.
(a) para
Informações úteis dadas:
Passo 2
Escolha da superfície de Gauss e justificativa (aula rápida). Porque o cilindro é longo e as cargas dependem só da distância radial
, o campo elétrico tem simetria cilíndrica: o campo é radial, tem módulo que depende apenas de
, e é perpendicular à superfície lateral de um cilindro coaxial. Assim escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica de raio arbitrário
e comprimento
, coaxial ao cilindro carregado. A Lei de Gauss em forma integral é
onde
é a carga total contida dentro da superfície de Gauss e
é a permissividade do vácuo. Explicação: o fluxo através das tampas é zero porque
é radial e os vetores
das tampas são axiais; só a superfície lateral contribui, e nela
tem módulo constante igual a
e
integra-se para
. Portanto o lado esquerdo reduz-se a
Passo 3
Cálculo da carga interna
para um raio de Gauss
(integração). A densidade é função de
, então a carga em um anel cilíndrico de raio
, espessura
e comprimento
é
Substituindo
obtemos
Agora integramos uma potência:
. Aplicando do
até
,
Comentário didático rápido: usamos
como variável de integração para não confundir com o raio onde queremos o campo
.
Passo 4
Expressão do campo elétrico para
(dentro do cilindro). Pela Lei de Gauss:
Cancelando
em ambos os lados obtemos
A simplificação passo a passo: dividir os coeficientes
por
dá
, e
.
Passo 5
Aplicação numérica para (a)
(dentro). Primeiro convertemos unidades para SI:
Usamos a fórmula interior
Calculando
:
Coeficiente:
Multiplicando:
Pequena nota: arredondei a
algarismos significativos, coerente com os dados.
Passo 6
Campo para
(fora do cilindro). Para
toda a carga do cilindro está dentro do raio
; assim
é obtido substituindo
na expressão anterior:
Aplicando Gauss em raio
,
Cancelando
como antes,
Passo 7
Aplicação numérica para (b)
(fora). Convertemos:
Calculamos
:
Usando a fórmula externa
já temos
(do Passo 5). Então
Multiplicando:
Passo 8
Verificação rápida: o campo obtido é contínuo em
(substituindo
nas duas fórmulas dá o mesmo resultado), o que é esperado porque não há folha de carga superficial na superfície do cilindro. Você fez certo — parabéns por manter a calma!
Resposta
(a)
(b)
(b)