Um cilindro maciço longo, năo-condutor, com 4,0 \mathrm{~cm} de raio, possui uma densidade volumétrica de carga năo-uniforme \rho que é funçā { }^{\text {a }} da distância radial r a partir do eixo do cilindro: \rho=A \sqrt{r}. Para A=2,5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}, determine o módulo do campo elétrico (a) para r=3,0 \mathrm{~cm}; (b) para r=5,0 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro maciço, não-condutor, de raio R=4{,}0\\ \mathrm{cm} com densidade volumétrica de carga não-uniforme \rho que depende da distância radial r ao eixo pela lei
\rho(r)=A\sqrt{r},
com A=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3. Pede-se o módulo do campo elétrico nos pontos:
(a) para r=3{,}0\\ \mathrm{cm} (dentro do cilindro, pois 3{,}0\\ \mathrm{cm}<4{,}0\\ \mathrm{cm}); (b) para r=5{,}0\\ \mathrm{cm} (fora do cilindro, pois 5{,}0\\ \mathrm{cm}>4{,}0\\ \mathrm{cm}).\n
Informações úteis dadas: A=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3, R=4{,}0\\ \mathrm{cm}, pontos r=3{,}0\\ \mathrm{cm} e r=5{,}0\\ \mathrm{cm}. Não há mais informações faltando.

Passo 2

Escolha da superfície de Gauss e justificativa (aula rápida). Porque o cilindro é longo e as cargas dependem só da distância radial r, o campo elétrico tem simetria cilíndrica: o campo é radial, tem módulo que depende apenas de r, e é perpendicular à superfície lateral de um cilindro coaxial. Assim escolhemos uma superfície de Gauss cilíndrica de raio arbitrário r e comprimento L, coaxial ao cilindro carregado. A Lei de Gauss em forma integral é
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida dentro da superfície de Gauss e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Explicação: o fluxo através das tampas é zero porque \vec{E} é radial e os vetores d\vec{A} das tampas são axiais; só a superfície lateral contribui, e nela \vec{E} tem módulo constante igual a E(r) e |d\vec{A}|=r\,d\varphi\,dz integra-se para 2\pi r L. Portanto o lado esquerdo reduz-se a
E(r)\cdot(2\pi r L).

Passo 3

Cálculo da carga interna Q_{\text{int}} para um raio de Gauss r (integração). A densidade é função de r, então a carga em um anel cilíndrico de raio r', espessura dr' e comprimento L é
dQ=\rho(r')\cdot \text{(volume do anel)}=\rho(r')\cdot(2\pi r' L\,dr').
Substituindo \rho(r')=A\sqrt{r'}=A r'^{1/2} obtemos
Q_{\text{int}}=\int_{0}^{r} A r'^{1/2}\cdot 2\pi r' L\,dr' = 2\pi L A \int_{0}^{r} r'^{3/2}\,dr'.
Agora integramos uma potência: \displaystyle \int r'^{3/2}\,dr'=\frac{r'^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}r'^{5/2}. Aplicando do 0 até r,
Q_{\text{int}}=2\pi L A \cdot \frac{2}{5} r^{5/2}=\frac{4\pi L A}{5}\, r^{5/2}.
Comentário didático rápido: usamos r' como variável de integração para não confundir com o raio onde queremos o campo r.

Passo 4

Expressão do campo elétrico para r\le R (dentro do cilindro). Pela Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi L A}{5}\, r^{5/2}.
Cancelando 2\pi L em ambos os lados obtemos
E(r)=\frac{\frac{4\pi L A}{5}\, r^{5/2}}{2\pi r L\,\varepsilon_0} =\frac{4A}{5\cdot 2\varepsilon_0}\, r^{3/2} =\frac{2A}{5\varepsilon_0}\, r^{3/2},\qquad (r\le R).
A simplificação passo a passo: dividir os coeficientes \frac{4\pi L A}{5} por 2\pi L \frac{4A}{10}=\frac{2A}{5}, e r^{5/2}/r=r^{3/2}.

Passo 5

Aplicação numérica para (a) r=3{,}0\\ \mathrm{cm} (dentro). Primeiro convertemos unidades para SI:
A=2{,}5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^3=2{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3, \qquad r=3{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}03\\ \mathrm{m}, \qquad \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2).
Usamos a fórmula interior
E(r)=\frac{2A}{5\varepsilon_0}\, r^{3/2}.
Calculando r^{3/2}:
r^{3/2}=(0{,}03)^{3/2}=(0{,}03)^{1{,}5}=\sqrt{0{,}03}\cdot 0{,}03\approx 0{,}173205\cdot 0{,}03\approx 0{,}00519615\\ \mathrm{m}^{3/2}.
Coeficiente:
\frac{2A}{5\varepsilon_0}=\frac{2\cdot 2{,}5\times10^{-6}}{5\cdot 8{,}85\times10^{-12}} =\frac{5\times10^{-6}}{44{,}25\times10^{-12}} \approx 1{,}12994\times10^{5}\\ \mathrm{(SI)}.
Multiplicando:
E(0{,}03)=1{,}12994\times10^{5}\cdot 0{,}00519615\approx 5{,}87\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
Pequena nota: arredondei a 3 algarismos significativos, coerente com os dados.

Passo 6

Campo para r\ge R (fora do cilindro). Para r>R toda a carga do cilindro está dentro do raio r; assim Q_{\text{int}} é obtido substituindo r=R na expressão anterior:
Q_{\text{tot}}=\frac{4\pi L A}{5}\, R^{5/2}.
Aplicando Gauss em raio r>R,
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{1}{2\pi r L\varepsilon_0}\cdot\frac{4\pi L A}{5}\, R^{5/2}.
Cancelando 2\pi L como antes,
E(r)=\frac{2A}{5\varepsilon_0}\,\frac{R^{5/2}}{r},\qquad (r\ge R).

Passo 7

Aplicação numérica para (b) r=5{,}0\\ \mathrm{cm} (fora). Convertemos:
r=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m},\qquad R=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}04\\ \mathrm{m}.
Calculamos R^{5/2}:
R^{5/2}=(0{,}04)^{5/2}=(0{,}04)^{2{,}5}=(0{,}04)^2\sqrt{0{,}04}=0{,}0016\cdot 0{,}2=0{,}00032.
Usando a fórmula externa
E(r)=\frac{2A}{5\varepsilon_0}\,\frac{R^{5/2}}{r},
já temos \dfrac{2A}{5\varepsilon_0}\approx 1{,}12994\times10^{5} (do Passo 5). Então
\frac{R^{5/2}}{r}=\frac{0{,}00032}{0{,}05}=0{,}0064.
Multiplicando:
E(0{,}05)=1{,}12994\times10^{5}\cdot 0{,}0064\approx 7{,}23\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Verificação rápida: o campo obtido é contínuo em r=R (substituindo r=R nas duas fórmulas dá o mesmo resultado), o que é esperado porque não há folha de carga superficial na superfície do cilindro. Você fez certo — parabéns por manter a calma!

Resposta

(a) 5,87\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}
(b) 7,23\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}

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