Qual é a constante elástica de uma mola que armazena 25,0 \mathrm{~J} de energia potencial ao ser comprimida 40,0 \mathrm{~cm} ?
\bigcirc a. 156 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
\bigcirc b. 0,0853 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
\bigcirc c. 312 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
\bigcirc d. 0,03125 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.
\bigcirc e. 0,03125 \mathrm{~N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a constante elástica da mola, dado que ela armazena 25,0\\ \mathrm{J} de energia potencial quando é comprimida 40,0\\ \mathrm{cm}.
Dados fornecidos:
\;U=25,0\\ \mathrm{J}
\;x=40,0\\ \mathrm{cm}

Passo 2

Fórmula que relaciona a energia potencial elástica com a constante da mola:
U=\tfrac{1}{2}kx^{2}
Explicação da fórmula: aqui U é a energia potencial armazenada na mola (em joules), k é a constante elástica da mola (em newtons por metro, \mathrm{N}/\mathrm{m}) e x é a deformação (compressão ou alongamento) da mola (em metros). Essa expressão vem de integrar a força elástica F=-kx para obter o trabalho necessário para comprimir/esticar a mola:
U=\int_{0}^{x} kx'\,dx'=\tfrac{1}{2}kx^{2}.

Passo 3

Isolamos k na fórmula para poder calcular:
k=\frac{2U}{x^{2}}.
Aqui apenas multiplicamos ambos os lados por 2 e dividimos por x^{2}.

Passo 4

Converter a compressão para o sistema internacional (metros):
x=40,0\\ \mathrm{cm}=0,400\\ \mathrm{m}.
É necessário usar metros porque a unidade de k é \mathrm{N}/\mathrm{m} e a energia U está em joules ( \mathrm{J}=\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}).

Passo 5

Calcular passo a passo:
Primeiro x^{2}:
x^{2}=(0,400\\ \mathrm{m})^{2}=0,1600\\ \mathrm{m}^{2}.
Dobro da energia:
2U=2\cdot 25,0\\ \mathrm{J}=50,0\\ \mathrm{J}.
Agora substituímos em k=\dfrac{2U}{x^{2}}:
k=\frac{50,0}{0,1600}\\ \mathrm{\frac{N}{m}}.
Para fazer a divisão de forma clara, escrevemos 0,1600=\tfrac{16}{100}, então
k=\frac{50,0}{0,1600}=\frac{50,0}{16/100}=50,0\cdot\frac{100}{16}=\frac{5000}{16}=312,5\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.
Portanto o valor calculado é 312,5\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, a mais próxima do resultado calculado é a alternativa (c) que apresenta 312\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}. Em provas de múltipla escolha é comum aceitar a opção que coincide com o valor calculado dentro do arredondamento fornecido.

Resposta

c. 312\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}

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