Uma partícula de 2 kg de massa é abandonada de uma altura de 10 m . Depois de certo intervalo de tempo, logo após o início do movimento, a partícula atinge uma velocidade de módulo 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Durante esse intervalo de tempo, o trabalho (em J) da força peso sobre a partícula, ignorando a resistência do ar, é
a) 6 .
b) 9 .
c) 20 .
d) 60 .
e) 200 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A massa da partícula é m=2\\ \mathrm{kg}.
  • A partícula é abandonada (ou seja, inicialmente em repouso: v_0=0).
  • Depois de um curto intervalo de tempo a velocidade atingida tem módulo v=3\\ \mathrm{m/s}.
  • Ignorar resistência do ar (logo, a única força que faz trabalho é a força peso).
    A pergunta é: durante esse intervalo de tempo (do repouso até v=3\\ \mathrm{m/s}), qual é o trabalho da força peso sobre a partícula, em joules?

Passo 2

Apresentando o conceito que vamos usar: o Teorema Trabalho-Energia. Ele diz que o trabalho resultante (soma dos trabalhos de todas as forças) sobre uma partícula é igual à variação da sua energia cinética. Em fórmulas:
W_{\text{res}}=\Delta K
onde W_{\text{res}} é o trabalho resultante e \Delta K é a variação da energia cinética. A energia cinética K de uma massa m com velocidade v é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa e v a velocidade. Aqui, como ignoramos a resistência do ar, a única força que realiza trabalho é a força peso; portanto o trabalho da força peso é igual ao trabalho resultante:
W_{\text{peso}}=W_{\text{res}}=\Delta K.

Passo 3

Calculemos a variação da energia cinética entre o início (repouso) e o instante em que v=3\\ \mathrm{m/s}:
\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}-\tfrac{1}{2}m v_{0}^{2}.
Substituindo m=2\\ \mathrm{kg}, v=3\\ \mathrm{m/s} e v_{0}=0:
\Delta K=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 3^{2}-0=\tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 9=9\\ \mathrm{J}.
Logo,
W_{\text{peso}}=9\\ \mathrm{J}.

Passo 4

(Para fixar: uma outra via — equivalente — é usar o trabalho como produto escalar \vec F\cdot\vec s. A força peso tem módulo mg e faz deslocamento vertical \Delta y para baixo; pela cinemática v^{2}=v_{0}^{2}+2g\Delta y obtemos \Delta y=v^{2}/(2g). Então W_{\text{peso}}=mg\Delta y=m g \dfrac{v^{2}}{2g}=\tfrac{1}{2}m v^{2}, que dá o mesmo 9\\ \mathrm{J}. Assim, a informação de que a partícula foi abandonada de 10\\ \mathrm{m} não é necessária para calcular o trabalho até atingir 3\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

9\\ \mathrm{J}

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