Solta-se uma bola de borracha, cuja massa é de
, de uma altura de
. Se a energia total da bola reduz-se em 70% a cada colisão com o chão, qual a altura máxima que essa bola alcançará após a segunda colisão?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
- massa da bola:
. - altura inicial:
. - a energia total da bola reduz-se em
a cada colisão com o chão (ou seja, após cada colisão sobra da energia que havia imediatamente antes da colisão).
O que se pede:
- determinar a altura máxima que a bola alcançará após a segunda colisão (ou seja, a altura máxima depois do segundo ricochete).
Passo 2
Conceito importante: energia potencial gravitacional.
Quando uma bola está a uma altura acima do chão, sua energia potencial gravitacional é dada por
Quando uma bola está a uma altura
onde:
-
é a energia potencial (em joules), -
é a massa da bola (em quilogramas), -
é a aceleração da gravidade (em ; podemos manter simbólico porque ele vai cancelar nas contas), -
é a altura em metros.
Explicação intuitiva: a energia potencial é proporcional à altura — dobrar a altura dobra a energia potencial, com a massa e
fixos.
Passo 3
Conversão entre energia potencial e cinética: ao cair sem resistência do ar, a energia potencial inicial
transforma-se em energia cinética no instante antes do impacto. Ignorando perdas durante a queda, a energia disponível para a colisão é exatamente
da altura de onde a bola caiu.
Depois da colisão, uma fração dessa energia permanece (o resto é dissipada). Se a energia após a colisão é
, essa energia transforma-se em energia potencial quando a bola sobe até a nova altura máxima
, via
Passo 4
Tradução da condição de perda de energia: “a energia total reduz-se em
a cada colisão” significa que após cada colisão sobra
da energia que havia imediatamente antes da colisão. Em fator multiplicativo:
Vou chamar esse fator de
:
Passo 5
Aplicando o fator à primeira colisão. A energia disponível antes da primeira colisão é a energia potencial inicial:
A energia imediatamente depois da primeira colisão é
Essa energia vira energia potencial na subida até a altura máxima após a primeira colisão
, logo
Note que
aparece em ambos os lados; podemos cancelar
(isso mostra por que a massa e o valor numérico de
não importam para o fator de altura):
Passo 6
Aplicando o mesmo raciocínio à segunda colisão. Antes da segunda colisão a bola tinha energia correspondente à altura
, isto é
. Após a segunda colisão resta um fator
dessa energia:
Convertendo para altura máxima após a segunda colisão
:
Cancelando
,
Mas do Passo 5 sabemos que
. Substituindo:
Passo 7
Agora substituímos os números. Temos
e
. Então
Calcule
:
Portanto
Passo 8
Conferência com as alternativas: a opção que corresponde a
é a alternativa (b). Respire fundo — fizemos passo a passo e a massa e
realmente não interferem no resultado final, porque a razão de energias é o que importa.
Resposta
b)