Solta-se uma bola de borracha, cuja massa é de 0,5 \mathrm{~kg}, de uma altura de 1,0 \mathrm{~m}. Se a energia total da bola reduz-se em 70% a cada colisão com o chão, qual a altura máxima que essa bola alcançará após a segunda colisão?
a) 0,21 \mathrm{~m}
b) 0,09 \mathrm{~m}
c) 0,45 \mathrm{~m}
d) 0,035 \mathrm{~m}
e) 0,0015 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Dados:
  • massa da bola: m=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • altura inicial: h_0=1,0\\ \mathrm{m}.
  • a energia total da bola reduz-se em 70\% a cada colisão com o chão (ou seja, após cada colisão sobra 30\% da energia que havia imediatamente antes da colisão).
O que se pede:
  • determinar a altura máxima que a bola alcançará após a segunda colisão (ou seja, a altura máxima depois do segundo ricochete).

Passo 2

Conceito importante: energia potencial gravitacional.
Quando uma bola está a uma altura h acima do chão, sua energia potencial gravitacional é dada por
E_p = m g h,
onde:
  • E_p é a energia potencial (em joules),
  • m é a massa da bola (em quilogramas),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}; podemos manter g simbólico porque ele vai cancelar nas contas),
  • h é a altura em metros.
Explicação intuitiva: a energia potencial é proporcional à altura — dobrar a altura dobra a energia potencial, com a massa e g fixos.

Passo 3

Conversão entre energia potencial e cinética: ao cair sem resistência do ar, a energia potencial inicial m g h transforma-se em energia cinética no instante antes do impacto. Ignorando perdas durante a queda, a energia disponível para a colisão é exatamente m g h da altura de onde a bola caiu.
Depois da colisão, uma fração dessa energia permanece (o resto é dissipada). Se a energia após a colisão é E_{\text{após}}ó, essa energia transforma-se em energia potencial quando a bola sobe até a nova altura máxima h_{\text{novo}}, via
E_{\text{após}} = m g h_{\text{novo}}.ó

Passo 4

Tradução da condição de perda de energia: “a energia total reduz-se em 70\% a cada colisão” significa que após cada colisão sobra 30\% da energia que havia imediatamente antes da colisão. Em fator multiplicativo:
\text{fator por colisão} = 1 - 0{,}70 = 0{,}30.ã
Vou chamar esse fator de r:
r = 0{,}30.

Passo 5

Aplicando o fator à primeira colisão. A energia disponível antes da primeira colisão é a energia potencial inicial:
E_{\text{antes 1}} = m g h_0.
A energia imediatamente depois da primeira colisão é
E_{\text{após 1}} = r \cdot E_{\text{antes 1}} = r \cdot m g h_0.ó
Essa energia vira energia potencial na subida até a altura máxima após a primeira colisão h_1, logo
m g h_1 = r \cdot m g h_0.
Note que m g aparece em ambos os lados; podemos cancelar m g (isso mostra por que a massa e o valor numérico de g não importam para o fator de altura):
h_1 = r \cdot h_0.

Passo 6

Aplicando o mesmo raciocínio à segunda colisão. Antes da segunda colisão a bola tinha energia correspondente à altura h_1, isto é m g h_1. Após a segunda colisão resta um fator r dessa energia:
E_{\text{após 2}} = r \cdot m g h_1.ó
Convertendo para altura máxima após a segunda colisão h_2:
m g h_2 = r \cdot m g h_1.
Cancelando m g,
h_2 = r \cdot h_1.
Mas do Passo 5 sabemos que h_1 = r \cdot h_0. Substituindo:
h_2 = r \cdot (r \cdot h_0) = r^2 \cdot h_0.

Passo 7

Agora substituímos os números. Temos r=0{,}30 e h_0=1{,}0\\ \mathrm{m}. Então
h_2 = (0{,}30)^2 \cdot 1{,}0\\ \mathrm{m}.
Calcule (0{,}30)^2:
(0{,}30)^2 = 0{,}09.
Portanto
h_2 = 0{,}09\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Conferência com as alternativas: a opção que corresponde a 0{,}09\\ \mathrm{m} é a alternativa (b). Respire fundo — fizemos passo a passo e a massa e g realmente não interferem no resultado final, porque a razão de energias é o que importa.

Resposta

b) 0,09\\ \mathrm{m}

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