Um carrinho num trilho de ar preso a uma mola oscila com período de 1,5 s. Em t =0 s, o carrinho está 5,00 cm à esquerda da posição de equilíbrio e se deslocando para a direita a 36,3 cm / s.
Represente graficamente o movimento.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um carrinho num trilho de ar preso a uma mola, que está oscilaçando com um período de 1,5 segundos. No tempo t = 0, o carrinho está 5,00 cm à esquerda da posição de equilíbrio e se movendo para a direita a 36,3 cm/s. O que a gente precisa fazer é representar graficamente esse movimento. Para isso, vamos usar conceitos de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que ocorre nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é período (T). O período é o tempo que o carrinho leva para completar uma oscilação completa. Sabemos que T = 1,5 s. A gente precisa achar a frequência angular (ω), que está relacionada ao período pela fórmula:
omega = 2piT
Substituindo o valor de T:
omega = 2pi1,5 approx 4,19 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos determinar a amplitude (A) e a constante de fase (φ). A amplitude é a máxima distância que o carrinho atinge a partir da posição de equilíbrio. A gente sabe que, no tempo t = 0, o carrinho está a 5,00 cm de distância, então:
A = 5,00 , cm
A equação geral do movimento harmônico simples é:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Mas como a velocidade inicial também é dada, precisamos usar as condições iniciais para achar φ. Sabemos que a velocidade é a derivada de x(t):
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
No tempo t = 0:
x(0) = A cos(phi) = -5,00 , cm
v(0) = -A omega sin(phi) = 36,3 , cm/s
Resolvendo para φ:
cos(phi) = -5,005,00 = -1 Rightarrow phi = pi , rad

Passo 4

Com todos os valores encontrados, vamos montar a equação do movimento:
x(t) = 5,00 cos(4,19 t + pi) , cm
Isso significa que o carrinho oscila com uma amplitude de 5 cm, uma frequência angular de aproximadamente 4,19 rad/s e uma fase inicial de π radianos.

Resposta

A equação que representa graficamente o movimento do carrinho é:
x(t) = 5,00 cos(4,19, t + pi) , cm

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