Um carro de corrida está em movimento circular uniforme ao longo de uma pista circular de 400 m de comprimento. Se o carro dá 10 voltas em 48 s , calcule:
a) a frequência do movimento em Hz e em rpm
b) o período do movimento em s
c) a velocidade angular do carro em rad/s
d) o módulo da velocidade do carro \mathrm{em} \mathrm{km} / \mathrm{h}
e) a aceleração centrípeta do carro \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos os números do enunciado):
  • comprimento da pista por volta: \,400\\ \mathrm{m}\,.
  • número de voltas realizadas: \,10\\ \text{voltas}\,.
  • tempo total gasto: \,48\\ \mathrm{s}\,.
O enunciado pede:
(a) a frequência do movimento em \mathrm{Hz} e em \mathrm{rpm};
(b) o período do movimento em \mathrm{s};
(c) a velocidade angular em \mathrm{rad/s};
(d) o módulo da velocidade do carro em \mathrm{km/h};
(e) a aceleração centrípeta em \mathrm{m/s^{2}}.
Vou usar as definições básicas do movimento circular uniforme: frequência, período, velocidade linear, velocidade angular e aceleração centrípeta. No próximo passo começo a calcular cada uma, explicando as fórmulas e o significado de cada variável.

Passo 2

Calcular a frequência do movimento em \mathrm{Hz} (voltas por segundo).
Definição: a frequência \,f\, é o número de revoluções (voltas) por unidade de tempo. Em fórmula:
f=\frac{N}{\Delta t},
onde \,N\, é o número de voltas e \,\Delta t\, é o intervalo de tempo.
Aqui \,N=10\, e \,\Delta t=48\\ \mathrm{s}. Logo
f=\frac{10}{48}=\frac{5}{24}\approx0,208333\\ \mathrm{Hz}.
Explicação didática: pensar em frequência é contar quantas voltas cabem numa unidade de tempo (1 segundo). Se eu dou 10 voltas em 48 segundos, em cada segundo dou um pouco mais de duas décimas de volta.
Agora converter para \mathrm{rpm} (rotações por minuto). Relação:
1\\ \mathrm{Hz}=60\\ \mathrm{rpm}.
Então
f_{\mathrm{rpm}}=f\cdot60=\frac{5}{24}\cdot60= \frac{5\cdot60}{24}= \frac{300}{24}=12{,}5\\ \mathrm{rpm}.
Interpretação: o carro faz 12{,}5 voltas a cada minuto.

Passo 3

Calcular o período do movimento em segundos.
Definição: o período \,T\, é o tempo que o corpo demora a completar uma volta (o inverso da frequência). Em fórmula:
T=\frac{1}{f}.
Usando \,f=\dfrac{5}{24}\\ \mathrm{Hz}:
T=\frac{1}{5/24}=\frac{24}{5}=4{,}8\\ \mathrm{s}.
Significado: cada volta demora 4{,}8 segundos.

Passo 4

Calcular a velocidade angular \,\omega\, em \mathrm{rad/s}.
Definição: a velocidade angular relaciona quantos radianos por segundo o corpo varre. A relação com a frequência é
\omega=2\pi f,
porque uma volta corresponde a 2\pi radianos.
Usando \,f=\dfrac{5}{24}:
\omega=2\pi\cdot\frac{5}{24}=\frac{10\pi}{24}=\frac{5\pi}{12}.
Valor numérico aproximado:
\omega\approx\frac{5\pi}{12}\approx1{,}309\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação: velocidade angular diz quantos radianos por segundo o vetor posição gira; aqui é pouco mais de 1{,}3\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular o módulo da velocidade linear do carro e converter para \mathrm{km/h}.
Método 1 (distância total / tempo): a velocidade linear média (aqui é constante porque é MCU) é dada por
v=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}.â
A distância total percorrida em \,10 voltas é \,10\times 400=4000\\ \mathrm{m}. Então
v=\frac{4000}{48}=\frac{1000}{12}\approx83{,}3333\\ \mathrm{m/s}.
Conversão para \mathrm{km/h}: multiplicar por 3{,}6 (porque 1\\ \mathrm{m/s}=3{,}6\\ \mathrm{km/h}):
v_{\mathrm{km/h}}=v\cdot3{,}6\approx83{,}3333\cdot3{,}6=300\\ \mathrm{km/h}.
Observação: é um número redondo porque \dfrac{4000}{48}\cdot3{,}6 = 300 exatamente.
Método 2 (consistência com \omega e r): se quiséssemos, poderíamos calcular o raio \,r\, da pista a partir do comprimento da volta \,C=400\\ \mathrm{m} usando \,C=2\pi r, logo \,r=\dfrac{400}{2\pi}=\dfrac{200}{\pi}. Em seguida usar v=\omega r. Ambos dão o mesmo v.

Passo 6

Calcular a aceleração centrípeta \,a_c\, em \mathrm{m/s^{2}}.
Fórmulas possíveis (todas equivalentes):
a_c=\frac{v^{2}}{r}\quad\text{ou}\quad a_c=\omega^{2}r,
onde \,v\, é a velocidade linear e \,r\, é o raio da trajetória.
Primeiro calcule o raio a partir do comprimento da pista por volta:
C=2\pi r \quad\Rightarrow\quad r=\frac{C}{2\pi}=\frac{400}{2\pi}=\frac{200}{\pi}\\ \mathrm{m}.
Usando v=\dfrac{4000}{48}=\dfrac{1000}{12}\\ \mathrm{m/s} e r=\dfrac{200}{\pi}\\ \mathrm{m}, calculamos
v^{2}=\left(\frac{1000}{12}\right)^{2}=\frac{1\,000\,000}{144}\approx6\,944{,}4444\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Agora
a_c=\frac{v^{2}}{r}=\frac{6\,944{,}4444}{200/\pi}=6\,944{,}4444\cdot\frac{\pi}{200}.
Fazendo a conta numérica:
a_c\approx109{,}0909\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Verificação alternativa (usando \omega^{2}r):
\omega=\frac{5\pi}{12}\\ \Rightarrow\\ \omega^{2}=\left(\frac{5\pi}{12}\right)^{2}=\frac{25\pi^{2}}{144}.
Então
a_c=\omega^{2}r=\frac{25\pi^{2}}{144}\cdot\frac{200}{\pi}=\frac{25\pi}{144}\cdot200=\frac{5000\pi}{144}\approx109{,}0909\\ \mathrm{m/s^{2}},
mesmo resultado (consistência checada).
Interpretação: essa aceleração é a que aponta para o centro da curva e é bastante grande — cerca de 11 vezes a aceleração da gravidade ( g\approx9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}), o que explica porque carros de corrida são projetados para altas forças laterais.

Resposta

(a) f= \dfrac{5}{24}\\ \mathrm{Hz}\approx0{,}20833\\ \mathrm{Hz}; f=12{,}5\\ \mathrm{rpm}
(b) T=4{,}8\\ \mathrm{s}
(c) \omega=\dfrac{5\pi}{12}\\ \mathrm{rad/s}\approx1{,}309\\ \mathrm{rad/s}
(d) v=83{,}333\\ \mathrm{m/s}=300\\ \mathrm{km/h}
(e) a_{c}\approx109{,}09\\ \mathrm{m/s^{2}}

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