Uma pessoa gira uma bolinha presa a uma linha de comprimento l com aceleração angular constante. Se após a bolinha dar N voltas partindo do repouso a linha se rompe e a bolinha escapa com uma velocidade de módulo v neste instante, calcule, em função de l,
N e v :
a) a aceleração angular da bolinha
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento da linha
c) o tempo total até o rompimento da linha.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Comprimento da linha: l.
  • A bolinha parte do repouso.
  • A aceleração angular é constante (valor desconhecido).
  • Depois da bolinha completar N voltas a linha rompe.
  • No instante do rompimento a velocidade linear (módulo da velocidade tangencial) da bolinha é v.
O enunciado pede:
a) a aceleração angular \alpha da bolinha (em função de l,\\ N,\\ v);
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento (em função de l,\\ N,\\ v);
c) o tempo total até o rompimento da linha (em função de l,\\ N,\\ v).

Passo 2

Vamos traduzir algumas quantidades angulares e definir variáveis para usar as fórmulas de cinemática rotacional.
  • Uma volta corresponde a 2\pi radianos. Portanto o deslocamento angular total até o rompimento é
\theta = 2\pi N.
  • Como a bolinha parte do repouso, a velocidade angular inicial é \omega_0=0. A velocidade angular no instante do rompimento chamamos de \omega (já relacionada à velocidade linear v abaixo).
  • Notas úteis (o que cada símbolo significa):
    • \alpha: aceleração angular (constante) — queremos achar.
    • \omega: velocidade angular no instante do rompimento.
    • \theta: deslocamento angular total percorrido (em radianos).
    • t: tempo total até o rompimento.
    • l: comprimento da linha (raio do movimento circular).
    • v: velocidade linear tangencial no instante do rompimento (módulo).

Passo 3

Lembrando as equações básicas de cinemática rotacional (análogas às da cinemática linear) para aceleração angular constante:
\omega = \omega_0 + \alpha t,
\theta = \omega_0 t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2,
\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta.
Aqui, como \omega_0=0, as fórmulas simplificam para
\omega = \alpha t, \qquad \theta = \tfrac{1}{2}\alpha t^2, \qquad \omega^2 = 2\alpha\theta.
Vou usá-las na resolução; cada variável já foi definida no passo anterior.

Passo 4

Relacionamento entre velocidade angular \omega e velocidade linear tangencial v:
a velocidade tangencial numa rotação circular uniforme (ou instantânea) vale
v = l\,\omega.
Do enunciado sabemos v no instante do rompimento, então podemos escrever
\omega = \frac{v}{l}.

Passo 5

Agora usamos a relação \omega^2 = 2\alpha\theta (válida porque \omega_0=0) para achar \alpha. Substituindo \omega = v/l e \theta = 2\pi N:
\left(\frac{v}{l}\right)^2 = 2\alpha\,(2\pi N).
Resolva para \alpha:
\alpha = \frac{(v/l)^2}{2\cdot 2\pi N} = \frac{v^2}{4\pi N\, l^2}.
Portanto a aceleração angular é
\boxed{\alpha = \dfrac{v^2}{4\pi N\, l^2}.}

Passo 6

Agora vamos achar os componentes da aceleração total da bolinha no instante do rompimento. Em movimento circular com aceleração angular não-nula existem duas contribuições à aceleração linear:
  • aceleração tangencial (módulo) \,a_t, associada à variação do módulo da velocidade,
  • aceleração centrípeta (ou radial) (módulo) \,a_r, associada à variação da direção da velocidade.
As fórmulas (e o que significam):
a_t = l\,\alpha,
onde a_t tem direção tangencial (perpendicular ao raio), e
a_r = l\,\omega^2,
onde a_r aponta radialmente para o centro (sentido centrípeto).
Substituindo \alpha e \omega:
  • Primeiro a_r: usando \omega = v/l,
a_r = l\left(\frac{v}{l}\right)^2 = \frac{v^2}{l}.
  • Depois a_t: usando \alpha = \dfrac{v^2}{4\pi N\, l^2},
a_t = l\,\alpha = l\cdot\frac{v^2}{4\pi N\, l^2} = \frac{v^2}{4\pi N\, l}.

Passo 7

As duas componentes a_r e a_t são perpendiculares (uma radial, outra tangencial). O módulo da aceleração total é, portanto, a raiz quadrada da soma dos quadrados:
a = \sqrt{a_r^2 + a_t^2}.
Substituindo os valores obtidos:
a = \sqrt{\left(\frac{v^2}{l}\right)^2 + \left(\frac{v^2}{4\pi N\, l}\right)^2} = \frac{v^2}{l}\sqrt{1 + \frac{1}{(4\pi N)^2}}.
Ou seja,
\boxed{a = \dfrac{v^2}{l}\,\sqrt{1+\dfrac{1}{16\pi^2 N^2}}.}

Passo 8

Agora calculamos o tempo total até o rompimento. Usei a relação linear entre \omega, \alpha e t:
\omega = \alpha t \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\omega}{\alpha}.
Substituindo \omega=\dfrac{v}{l} e \alpha=\dfrac{v^2}{4\pi N\, l^2}:
t = \frac{v/l}{\,v^2/(4\pi N\, l^2)\,} = \frac{v}{l}\cdot\frac{4\pi N\, l^2}{v^2} = \frac{4\pi N\, l}{v}.
(A verificação alternativa: a partir de \theta=\tfrac12\alpha t^2 também se obteria o mesmo resultado.)
Portanto
\boxed{t = \dfrac{4\pi N\, l}{v}.}

Passo 9

Pequenas observações de sanidade (úteis na hora da prova):
  • Verificação dimensional: \alpha tem dimensão [T^{-2}]: \dfrac{v^2}{l^2} tem [L^2/T^2]/[L^2]=[T^{-2}] e o fator adimensional (4\pi N)^{-1} não altera isso — consistente.
  • Para N grande o termo tangencial fica pequeno comparado ao radial (o fator 1/(4\pi N) fica pequeno), então a\approx v^2/l, isto é esperado quando já se está em rotação rápida.
  • Você pode usar essas mesmas fórmulas trocando N por \theta/(2\pi) se o enunciado desse o deslocamento em radianos.

Resposta

a) \displaystyle \alpha = \dfrac{v^2}{4\pi N\, l^2}
b) \displaystyle a = \dfrac{v^2}{l}\,\sqrt{1+\dfrac{1}{16\pi^2 N^2}}
c) \displaystyle t = \dfrac{4\pi N\, l}{v}

Exercícios relacionados