Uma pessoa gira uma bolinha presa a uma linha de comprimento
com aceleração angular constante. Se após a bolinha dar
voltas partindo do repouso a linha se rompe e a bolinha escapa com uma velocidade de módulo
neste instante, calcule, em função de
,
e
:
a) a aceleração angular da bolinha
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento da linha
c) o tempo total até o rompimento da linha.
a) a aceleração angular da bolinha
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento da linha
c) o tempo total até o rompimento da linha.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tomei estes dados diretamente do enunciado):
- Comprimento da linha:
. - A bolinha parte do repouso.
- A aceleração angular é constante (valor desconhecido).
- Depois da bolinha completar
voltas a linha rompe. - No instante do rompimento a velocidade linear (módulo da velocidade tangencial) da bolinha é
.
O enunciado pede:
a) a aceleração angular da bolinha (em função de
);
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento (em função de );
c) o tempo total até o rompimento da linha (em função de ).
a) a aceleração angular
b) o módulo do vetor aceleração total da bolinha no instante do rompimento (em função de
c) o tempo total até o rompimento da linha (em função de
Passo 2
Vamos traduzir algumas quantidades angulares e definir variáveis para usar as fórmulas de cinemática rotacional.
- Uma volta corresponde a
radianos. Portanto o deslocamento angular total até o rompimento é
-
Como a bolinha parte do repouso, a velocidade angular inicial é
. A velocidade angular no instante do rompimento chamamos de (já relacionada à velocidade linear abaixo). -
Notas úteis (o que cada símbolo significa):
-
: aceleração angular (constante) — queremos achar. -
: velocidade angular no instante do rompimento. -
: deslocamento angular total percorrido (em radianos). -
: tempo total até o rompimento. -
: comprimento da linha (raio do movimento circular). -
: velocidade linear tangencial no instante do rompimento (módulo).
-
Passo 3
Lembrando as equações básicas de cinemática rotacional (análogas às da cinemática linear) para aceleração angular constante:
Aqui, como
, as fórmulas simplificam para
Vou usá-las na resolução; cada variável já foi definida no passo anterior.
Passo 4
Relacionamento entre velocidade angular
e velocidade linear tangencial
:
a velocidade tangencial numa rotação circular uniforme (ou instantânea) vale
a velocidade tangencial numa rotação circular uniforme (ou instantânea) vale
Do enunciado sabemos
no instante do rompimento, então podemos escrever
Passo 5
Agora usamos a relação
(válida porque
) para achar
. Substituindo
e
:
Resolva para
:
Portanto a aceleração angular é
Passo 6
Agora vamos achar os componentes da aceleração total da bolinha no instante do rompimento. Em movimento circular com aceleração angular não-nula existem duas contribuições à aceleração linear:
- aceleração tangencial (módulo)
, associada à variação do módulo da velocidade, - aceleração centrípeta (ou radial) (módulo)
, associada à variação da direção da velocidade.
As fórmulas (e o que significam):
onde
tem direção tangencial (perpendicular ao raio), e
onde
aponta radialmente para o centro (sentido centrípeto).
Substituindo
e
:
- Primeiro
: usando ,
- Depois
: usando ,
Passo 7
As duas componentes
e
são perpendiculares (uma radial, outra tangencial). O módulo da aceleração total é, portanto, a raiz quadrada da soma dos quadrados:
Substituindo os valores obtidos:
Ou seja,
Passo 8
Agora calculamos o tempo total até o rompimento. Usei a relação linear entre
,
e
:
Substituindo
e
:
(A verificação alternativa: a partir de
também se obteria o mesmo resultado.)
Portanto
Passo 9
Pequenas observações de sanidade (úteis na hora da prova):
- Verificação dimensional:
tem dimensão : tem e o fator adimensional não altera isso — consistente. - Para
grande o termo tangencial fica pequeno comparado ao radial (o fator fica pequeno), então , isto é esperado quando já se está em rotação rápida. - Você pode usar essas mesmas fórmulas trocando
por se o enunciado desse o deslocamento em radianos.
Resposta
a)
b)
c)