Um carro de corrida percorre uma curva circular de raio 50 m de acordo com a expressão θ=2t+4t2+3t3, onde t está em segundos e θ em radianos. Quais os valores das seguintes grandezas para t=3 s:
Aceleração radial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um carro de corrida que está fazendo uma curva circular com raio de 50 metros. A posição angular do carro em função do tempo é dada pela equação theta = 2t + 4t^2 + 3t^3, onde t é o tempo em segundos e theta em radianos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a aceleração radial do carro quando t = 3 segundos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular, especificamente a cinemática do movimento angular. Vamos calcular a velocidade angular, depois a aceleração angular e, por fim, usar esses valores para encontrar a aceleração radial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular omega(t). A velocidade angular é a derivada da posição angular theta(t) em relação ao tempo. Então, vamos derivar theta = 2t + 4t^2 + 3t^3:
omega(t) = dthetadt = ddt(2t + 4t^2 + 3t^3) = 2 + 8t + 9t^2

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor de omega quando t = 3 segundos. Substituindo t = 3 na expressão que encontramos:
omega(3) = 2 + 8(3) + 9(3)^2 = 2 + 24 + 81 = 107 rad/s

Passo 4

A seguir, precisamos calcular a aceleração radial ar. A aceleração radial, também conhecida como aceleração centrípeta, é dada pela fórmula:
ar = omega^2 r
Onde:
  • omega é a velocidade angular.
  • r é o raio da curva.
Já sabemos que r = 50 metros e omega = 107 rad/s. Então, substituindo esses valores:
ar = (107)^2 times 50 = 11449 times 50 = 572450 m/s^2

Resposta

A aceleração radial do carro quando t = 3 segundos é de 572.450 m/s².

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