Mostre que para um gás ideal em um processo adiabático a pressão e o volume do gás está relacionada por
onde
é a razão dos calores específicos a pressão e volume constante, respectivamente. Além disso, usando a equação de estado de um gás ideal, isto é
Mostre que (*) pode ser reescrita como
Com base na equação acima, explique por que ao usarmos um spray desodorante sentimos o recipiente resfriar.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um gás ideal passando por um processo adiabático e queremos mostrar que a pressão $ p $ e o volume $ V $ estão relacionados pela equação $ p V^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é a razão dos calores específicos a pressão e volume constante. Também vamos usar a equação de estado do gás ideal, $ p V = n R T $, para mostrar que essa relação pode ser reescrita como $ T V^{\gamma - 1} = constante $. Por fim, vamos explicar por que, ao usar um spray desodorante, sentimos o recipiente resfriar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente, ou seja, $ Q = 0 $. A primeira lei da termodinâmica diz que $ \Delta U = Q - W $, onde $ \Delta U $ é a variação da energia interna e $ W $ é o trabalho realizado. Como $ Q = 0 $, temos $ \Delta U = -W $.
Passo 3
Para um gás ideal, a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura. A variação da energia interna pode ser expressa como $ \Delta U = n C_v \Delta T $, onde $ C_v $ é o calor específico a volume constante. O trabalho realizado em uma expansão ou compressão é $ W = p \Delta V $.
Passo 4
Como temos $ \Delta U = -W $, substituímos as expressões:
Dividindo ambos os lados por $ n \Delta T $:
Passo 5
Usamos a equação de estado do gás ideal $ p V = n R T $. Vamos substituir $ p $ por $ \frac{n R T}{V} $ na equação anterior:
Simplificando:
Passo 6
Rearranjando a equação:
Isso sugere que:
Mas precisamos relacionar pressão e volume. Para isso, usamos a definição de $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ e a relação $ C_p - C_v = R $.
Passo 7
Multiplicando a equação $ T V = constante $ por $ p V $, temos:
Isso mostra que, para um processo adiabático, a pressão e o volume estão relacionados por $ p V^{\gamma} = constante $.
Passo 8
Usando novamente a equação de estado do gás ideal $ p V = n R T $ e substituindo $ p $ na relação adiabática:
Portanto:
Resposta
Mostramos que, para um gás ideal em um processo adiabático, $ p V^{\gamma} = constante $ e que isso pode ser reescrito como $ T V^{\gamma - 1} = constante $. Quando usamos um spray desodorante, o gás no recipiente expande adiabaticamente, fazendo com que a temperatura diminua, o que sentimos como resfriamento do recipiente.