Um carro cujo coeficiente de arrasto é C_{D}=0,32 e cuja área frontal mede A=2,4 \mathrm{m}^{2} tem um motor que pode the imprimir uma força máxima de 1000 N . Qual é a velocidade máxima que tal carro pode atingir? Considere a densidade do ar como p=1,3 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3} e que a força de arrasto seja F_{D}=\frac{1}{2} C \rho A v^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade máxima que o carro pode atingir. Informações dadas:
  • Coeficiente de arrasto: C_{D}=0,32.
  • Área frontal: A=2,4\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Força máxima do motor: F_{\text{m}}=1000\\ \mathrm{N}.
  • Densidade do ar (no enunciado escrita como p): \rho=1,3\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • Força de arrasto dada por \displaystyle F_{D}=\tfrac{1}{2}C\rho A v^{2}.
O que é pedido: calcular a velocidade máxima v_{\max} em que o carro se estabelece.

Passo 2

Entender a fórmula da força de arrasto e o que cada símbolo significa (aula rápida e prática).
A fórmula é
F_{D}=\frac{1}{2}C\rho A v^{2}.
Significado de cada termo:
  • F_{D} é a força de arrasto (resistência do ar) em newtons, \mathrm{N}.
  • C é o coeficiente de arrasto adimensional (aqui C=C_{D}).
  • \rho é a densidade do fluido (ar), em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • A é a área frontal do veículo, em \mathrm{m}^{2}.
  • v é a velocidade relativa entre ar e veículo, em \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
    A razão do v^{2} é física: a resistência do ar cresce com o quadrado da velocidade.

Passo 3

Condição de velocidade máxima:
Num deslocamento em que a velocidade é constante (velocidade terminal), a força propulsora do motor é exatamente equilibrada pela força de arrasto (assumimos aqui que outras forças de resistência são desprezíveis). Assim, no máximo:
F_{\text{m}} = F_{D}.
Substituindo a expressão do arrasto:
F_{\text{m}} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}.

Passo 4

Isolar v da equação acima. Começamos multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por C\rho A:
2F_{\text{m}} = C \rho A v^{2}
v^{2} = \frac{2F_{\text{m}}}{C \rho A}.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (considerando a raiz positiva para velocidade):
v = \sqrt{\frac{2F_{\text{m}}}{C \rho A}}.
Aqui, cada símbolo já está conhecido: F_{\text{m}} em \mathrm{N}, C adimensional, \rho em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, A em \mathrm{m}^{2} — o resultado fica em \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Substituir os valores numéricos com cuidado e calcular passo a passo (fazível à mão):
Primeiro calcule o produto C\rho A:
C\rho A = 0,32 \times 1,3 \times 2,4.
Calcule em etapas:
0,32 \times 1,3 = 0,416,
0,416 \times 2,4 = 0,9984.
Agora calcule o numerador 2F_{\text{m}} = 2 \times 1000 = 2000.
Forme a razão:
\frac{2F_{\text{m}}}{C\rho A} = \frac{2000}{0,9984} \approx 2003,2.
Finalmente, a raiz quadrada:
v = \sqrt{2003,2}\approx 44,8\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
(Se quiser transformar para \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}: multiplica por 3,6.)

Passo 6

Converter para quilômetros por hora e comentar sobre suposições:
v_{\max}\approx 44,8\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\times 3{,}6 \approx 161{,}3\\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
Comentário prático: este valor considerou apenas a resistência aerodinâmica e a força máxima do motor. Na vida real entram também resistência de rolamento, perdas mecânicas e limitações da transmissão, então a velocidade real máxima provavelmente será um pouco menor. Mas para a prova e usando o enunciado, este é o cálculo correto.

Resposta

v_{\max}\approx 44{,}8\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}\\ \approx 161{,}3\\ \mathrm{km}\cdot\mathrm{h}^{-1}

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