A região do espaço entre
está carregada com uma carga elétrica de densidade
onde
é uma constante com dimensão de densidade volumétrica de carga. Considerando a permissividade relativa dessa região igual à do vácuo e sabendo que campo elétrico e o potencial são nulos para
e o potencial em
vale
, determine, utilizando a equação de Poisson:
a) O potencial e o campo elétrico para
;
b) As densidades superficiais de cargas presentes em
e
.
a) O potencial e o campo elétrico para
b) As densidades superficiais de cargas presentes em
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de carga esfericamente simétrica apenas na região entre
, com densidade volumétrica
onde
é constante. Diz também que o campo elétrico e o potencial são nulos para
e que o potencial em
vale
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- Determinar o potencial
e o campo elétrico na região . - Determinar as densidades superficiais de carga
presentes nas superfícies e .
Informações relevantes do enunciado:
-
para e fora dessa casca (implicitamente). - Para
: e . - Em
: . - Permissividade relativa igual à do vácuo
usar . - Simetria esférica (dependência só de
).
Passo 2
Vamos escrever a equação de Poisson e adaptar para simetria esférica. A equação de Poisson em presença de densidade volumétrica
é
Para potencial que depende só de
(simetria esférica), o operador laplaciano reduz-se à forma radial
Explicando:
é o potencial escalar;
é a derivada radial, e o fator
é a forma correta do laplaciano em coordenadas esféricas quando não há dependência angular. Substituindo
obtemos, para
,
Passo 3
Resolveremos a equação diferencial por integrações sucessivas. Multiplicando ambos os lados por
:
Integramos em
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Integramos novamente para obter
:
onde
é outra constante de integração. Resumindo, para
temos a forma geral
e o campo elétrico radial (lembre que
e, aqui,
com
) é
Passo 4
Agora determinamos as constantes
usando as condições de contorno físicas:
- Continuidade do potencial em
: pelo enunciado . Como o potencial deve ser contínuo na superfície, . Assim
Simplificando,
Daí
- Continuidade do potencial em
: . Substituindo na forma geral:
Calculemos
. Substituindo
da condição anterior:
Agrupando termos:
Logo
E então
Passo 5
Substituindo
e
nas expressões gerais obtemos as formas finais para
.
Potencial:
Campo elétrico radial:
Dica prática para prova: ao resolver equações do tipo
faça primeiro multiplicar por
e integrar; isso reduz a ordem sem complicar a álgebra.
Passo 6
Agora calculamos as densidades superficiais de carga
nas superfícies
e
. A condição de salto do campo elétrico em uma superfície com carga superficial
é
onde o normal é radial para fora.
Superfície em
:
- Dentro (
): (dado). - Fora (
): usar a expressão em :
Simplificando os termos em
:
Portanto
Superfície em
:
- Fora (
): podemos usar que, para , não há carga volumétrica (apenas possível carga superficial em ) e o potencial deve tender a zero no infinito; assim a solução externa é do tipo . Como , temos . Logo
- Dentro (
): usar expressão em :
Simplificando os termos em
:
Então o salto é
Multiplicando por
,