A região do espaço entre a<r<2 a está carregada com uma carga elétrica de densidade
\rho=\frac{\rho_{0} r}{a},
onde \rho_{0} é uma constante com dimensão de densidade volumétrica de carga. Considerando a permissividade relativa dessa região igual à do vácuo e sabendo que campo elétrico e o potencial são nulos para r<a e o potencial em r=2 a vale V_{0}, determine, utilizando a equação de Poisson:
a) O potencial e o campo elétrico para a<r<2 a;
b) As densidades superficiais de cargas presentes em r=a e r=2 a.

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de carga esfericamente simétrica apenas na região entre a<r<2a, com densidade volumétrica
\rho(r)=\frac{\rho_{0}\,r}{a},
onde \rho_{0} é constante. Diz também que o campo elétrico e o potencial são nulos para r<a e que o potencial em r=2a vale V_{0}.
As perguntas são:
  1. Determinar o potencial V(r) e o campo elétrico \mathbf{E}(r) na região a<r<2a.
  2. Determinar as densidades superficiais de carga \sigma presentes nas superfícies r=a e r=2a.
Informações relevantes do enunciado:
  • \rho(r)=\dfrac{\rho_{0}r}{a} para a<r<2a e \rho=0 fora dessa casca (implicitamente).
  • Para r<a: V=0 e \mathbf{E}=0.
  • Em r=2a: V(2a)=V_{0}.
  • Permissividade relativa igual à do vácuo \Rightarrow usar \epsilon=\epsilon_{0}.
  • Simetria esférica (dependência só de r).

Passo 2

Vamos escrever a equação de Poisson e adaptar para simetria esférica. A equação de Poisson em presença de densidade volumétrica \rho é
\nabla^{2}V=-\frac{\rho}{\epsilon_{0}}.
Para potencial que depende só de r (simetria esférica), o operador laplaciano reduz-se à forma radial
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
Explicando: \,V(r) é o potencial escalar; \dfrac{dV}{dr} é a derivada radial, e o fator \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}(r^{2}\cdot) é a forma correta do laplaciano em coordenadas esféricas quando não há dependência angular. Substituindo \rho(r) obtemos, para a<r<2a,
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=-\frac{1}{\epsilon_{0}}\frac{\rho_{0}r}{a}.

Passo 3

Resolveremos a equação diferencial por integrações sucessivas. Multiplicando ambos os lados por r^{2}:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=-\frac{\rho_{0}}{a\epsilon_{0}}\,r^{3}.
Integramos em r:
r^{2}\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{a\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{4}}{4}+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Agora isolamos \dfrac{dV}{dr}:
\frac{dV}{dr}=-\frac{\rho_{0}}{a\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{2}}{4}+\frac{C_{1}}{r^{2}}.
Integramos novamente para obter V(r):
V(r)=-\frac{\rho_{0}}{a\epsilon_{0}}\cdot\frac{r^{3}}{12}-\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Resumindo, para a<r<2a temos a forma geral
\boxed{\,V(r)=-\frac{\rho_{0}r^{3}}{12a\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{r}+C_{2}\,}
e o campo elétrico radial (lembre que \mathbf{E}=-\nabla V e, aqui, \mathbf{E}=E_{r}\,\hat{r} com E_{r}=-dV/dr) é
\boxed{\,E_{r}(r)=\frac{\rho_{0}r^{2}}{4a\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{r^{2}}\,.}

Passo 4

Agora determinamos as constantes C_{1},C_{2} usando as condições de contorno físicas:
  1. Continuidade do potencial em r=a: pelo enunciado V(r<a)=0. Como o potencial deve ser contínuo na superfície, V(a^{+})=V(a^{-})=0. Assim
V(a)= -\frac{\rho_{0}a^{3}}{12a\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{a}+C_{2}=0.
Simplificando,
-\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{a}+C_{2}=0.
Daí
C_{2}=\frac{C_{1}}{a}+\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}.
  1. Continuidade do potencial em r=2a: V(2a)=V_{0}. Substituindo na forma geral:
-\frac{\rho_{0}(2a)^{3}}{12a\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{2a}+C_{2}=V_{0}.
Calculemos -\dfrac{\rho_{0}(2a)^{3}}{12a\epsilon_{0}}=-\dfrac{2\rho_{0}a^{2}}{3\epsilon_{0}}. Substituindo C_{2} da condição anterior:
-\frac{2\rho_{0}a^{2}}{3\epsilon_{0}}-\frac{C_{1}}{2a}+\left(\frac{C_{1}}{a}+\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}\right)=V_{0}.
Agrupando termos:
\frac{C_{1}}{2a}-\frac{7\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}=V_{0}.
Logo
C_{1}=2a\left(V_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}\right)=2aV_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}.
E então
C_{2}= \frac{C_{1}}{a}+\frac{\rho_{0}a^{2}}{12\epsilon_{0}}=2V_{0}+\frac{5\rho_{0}a^{2}}{4\epsilon_{0}}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} nas expressões gerais obtemos as formas finais para a<r<2a.
Potencial:
\begin{aligned} V(r)&=-\frac{\rho_{0}r^{3}}{12a\epsilon_{0}}-\frac{1}{r}\!\left(2aV_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right) +2V_{0}+\frac{5\rho_{0}a^{2}}{4\epsilon_{0}}. \end{aligned}
Campo elétrico radial:
E_{r}(r)=\frac{\rho_{0}r^{2}}{4a\epsilon_{0}}-\frac{1}{r^{2}}\!\left(2aV_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right).
Dica prática para prova: ao resolver equações do tipo \dfrac{1}{r^{2}}\dfrac{d}{dr}(r^{2}V')=f(r) faça primeiro multiplicar por r^{2} e integrar; isso reduz a ordem sem complicar a álgebra.

Passo 6

Agora calculamos as densidades superficiais de carga \sigma nas superfícies r=a e r=2a. A condição de salto do campo elétrico em uma superfície com carga superficial \sigma é
\sigma=\epsilon_{0}\bigl(E_{r}^{\text{(fora)}}-E_{r}^{\text{(dentro)}}\bigr),
onde o normal é radial para fora.
Superfície em r=a:
  • Dentro ( r<a): E_{r}^{\text{(dentro)}}=0 (dado).
  • Fora ( r=a^{+}): usar a expressão E_{r}(r) em r=a:
E_{r}(a^{+})=\frac{\rho_{0}a^{2}}{4a\epsilon_{0}}-\frac{1}{a^{2}}\!\left(2aV_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right) =\frac{\rho_{0}a}{4\epsilon_{0}}-\frac{2V_{0}}{a}-\frac{7\rho_{0}a}{6\epsilon_{0}}.
Simplificando os termos em \rho_{0}:
E_{r}(a^{+})=-\frac{11\rho_{0}a}{12\epsilon_{0}}-\frac{2V_{0}}{a}.
Portanto
\sigma(a)=\epsilon_{0}E_{r}(a^{+})=-\frac{11\rho_{0}a}{12}-\frac{2\epsilon_{0}V_{0}}{a}.
Superfície em r=2a:
  • Fora ( r>2a): podemos usar que, para r>2a, não há carga volumétrica (apenas possível carga superficial em r=2a) e o potencial deve tender a zero no infinito; assim a solução externa é do tipo V_{\text{out}}(r)=\dfrac{A}{r}. Como V(2a)=V_{0}, temos A=2aV_{0}. Logo
E_{r}^{\text{(fora)}}(2a^{+})=\frac{A}{(2a)^{2}}=\frac{V_{0}}{2a}.
  • Dentro ( r=2a^{-}): usar expressão E_{r}(r) em r=2a:
E_{r}(2a^{-})=\frac{\rho_{0}(2a)^{2}}{4a\epsilon_{0}}-\frac{1}{(2a)^{2}}\!\left(2aV_{0}+\frac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right) =\frac{\rho_{0}a}{\epsilon_{0}}-\frac{V_{0}}{2a}-\frac{7\rho_{0}a}{24\epsilon_{0}}.
Simplificando os termos em \rho_{0}:
E_{r}(2a^{-})=\frac{17\rho_{0}a}{24\epsilon_{0}}-\frac{V_{0}}{2a}.
Então o salto é
E_{r}^{\text{(fora)}}-E_{r}^{\text{(dentro)}}=\frac{V_{0}}{2a}-\left(\frac{17\rho_{0}a}{24\epsilon_{0}}-\frac{V_{0}}{2a}\right)=\frac{V_{0}}{a}-\frac{17\rho_{0}a}{24\epsilon_{0}}.
Multiplicando por \epsilon_{0},
\sigma(2a)=\epsilon_{0}\frac{V_{0}}{a}-\frac{17\rho_{0}a}{24}.

Resposta

V(r)=-\dfrac{\rho_{0}r^{3}}{12a\epsilon_{0}}-\dfrac{1}{r}\!\left(2aV_{0}+\dfrac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right)+2V_{0}+\dfrac{5\rho_{0}a^{2}}{4\epsilon_{0}},\quad a<r<2a\n
E_{r}(r)=\dfrac{\rho_{0}r^{2}}{4a\epsilon_{0}}-\dfrac{1}{r^{2}}\!\left(2aV_{0}+\dfrac{7\rho_{0}a^{3}}{6\epsilon_{0}}\right),\quad a<r<2a\n
\sigma(a)=-\dfrac{11\rho_{0}a}{12}-\dfrac{2\epsilon_{0}V_{0}}{a}\n
\sigma(2a)=\dfrac{\epsilon_{0}V_{0}}{a}-\dfrac{17\rho_{0}a}{24}

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