Exercício 1

Considera um espelho plano vertical.
(a) Qual é a menor altura que o espelho precisa ter para que uma pessoa de altura h possa ver sua imagem completa no espelho? Explique!
Resposta esperada: \frac{h}{2}. Explique!
(b) Se você se afasta do espelho com velocidade v=2.4 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}, com que velocidade a imagem se afasta de você? Explique!
Resposta esperada: 4.8 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}. Explique!

Passo 1

O enunciado dá um espelho plano vertical e uma pessoa de altura \,h.\n(a) Pergunta: qual é a menor altura que o espelho precisa ter para que a pessoa veja a sua imagem completa? A resposta esperada é \dfrac{h}{2}.\n(b) Pergunta: se a pessoa se afasta do espelho com velocidade \,v=2,4\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}, com que velocidade a imagem se afasta da pessoa? A resposta esperada é 4,8\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\nInformações relevantes: espelho plano (imagem virtual, simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho), posição dos olhos da pessoa pode ser qualquer ponto entre o pé e o topo (não foi dada explicitamente), e o movimento do objeto é ao longo da direção normal ao espelho (afastando-se).

Passo 2

Conceitos essenciais (explicados com calma):\n- Imagem em espelho plano: a imagem é virtual, localizada atrás do espelho, com as mesmas dimensões do objeto e à mesma distância do espelho que o objeto está na frente. Isso significa que se o objeto está a uma distância \,d à frente do plano do espelho, sua imagem está a distância \,d atrás do plano do espelho.\n- Lei da reflexão (breve): o raio incidente e o raio refletido fazem o mesmo ângulo com a normal ao espelho. Uma maneira prática de usar isso é o truque geométrico da imagem virtual: para prever por onde um raio refletido vai, basta traçar uma linha reta do observador até o ponto correspondente da imagem virtual (como se o espelho não estivesse lá) e ver onde essa linha corta o plano do espelho.\nVou usar esse conceito de imagem virtual porque simplifica muito a geometria: os raios refletidos parecem vir de pontos da imagem virtual, então podemos tratar a propagação como segmentos retos entre o olho e o ponto da imagem virtual.

Passo 3

Configuração geométrica precisa (escolha coordenadas para ficar claro):\n- Coloco o plano do espelho vertical no eixo x=0.\n- A pessoa está inteiramente no lado x<0; para simplificar, tomo a posição horizontal de todos os pontos do corpo (topo, pés e olhos) como x=-d, com d>0 — isto é, a pessoa fica a uma distância d do espelho.\n- No eixo vertical tomo a origem no chão. Assim o pé fica em y=0 e o topo da cabeça em y=h. As alturas são unidades verticais.\n- A altura dos olhos chamo de y_e, com 0<y_e<h. Não precisamos saber o valor de y_e — essa liberdade vai mostrar que a conclusão não depende de onde estão os olhos.\n- Pela propriedade da imagem em espelho plano, a imagem virtual correspondente está atrás do espelho, simetricamente: o ponto do topo da cabeça tem imagem em (+d,h), os pés têm imagem em (+d,0), e os olhos têm imagem em (+d,y_e).

Passo 4

Determinar onde, no espelho, um raio que venha do topo da imagem e vá para os olhos corta o plano do espelho:\n- Considere o segmento que liga os olhos da pessoa (no ponto (-d,y_e)) ao topo da imagem virtual (no ponto (+d,h)).\n- Parametrizo a reta entre esses dois pontos por um parâmetro t\in[0,1]:\n \;x(t) = -d + t\,(+d - (-d)) = -d + t\,(2d)\;.\n- Queremos o ponto onde essa reta cruza o plano do espelho x=0. Igualando x(t)=0 dá\n \;0 = -d + t\,(2d)\;\Rightarrow\;t=\tfrac{1}{2}.\n- Agora calculo a coordenada vertical y nesse mesmo t=\tfrac{1}{2}:\n \;y = y_e + t\,(h - y_e) = y_e + \tfrac{1}{2}(h - y_e) = \tfrac{y_e + h}{2}.\nConclusão: o raio que “vem” do topo da imagem e chega aos olhos intersecta o espelho na altura \dfrac{y_e + h}{2}.

Passo 5

Fazer o mesmo para os pés:\n- Considere agora a reta que liga os olhos (-d,y_e) à imagem do pé (+d,0).\n- Usando o mesmo argumento, quando essa reta cruza x=0 o parâmetro é t=\tfrac{1}{2} (mesma simetria horizontal), então a altura de interseção é\n \;y = y_e + \tfrac{1}{2}(0 - y_e) = \tfrac{y_e}{2}.\nConclusão: o raio que “vem” do pé da imagem e chega aos olhos intersecta o espelho na altura \dfrac{y_e}{2}.

Passo 6

Determinar a altura mínima do espelho (juntando os dois resultados):\n- Para que os olhos vejam simultaneamente o topo e os pés da imagem, o espelho precisa cobrir, verticalmente, pelo menos do ponto onde chega o raio vindo do pé até o ponto onde chega o raio vindo do topo.\n- Esses pontos têm alturas \dfrac{y_e}{2} (parte inferior do espelho) e \dfrac{y_e + h}{2} (parte superior do espelho).\n- Assim a altura necessária do espelho é\n \;\frac{y_e + h}{2} - \frac{y_e}{2} = \frac{h}{2}.\nObservação importante: a expressão resultante não envolve d nem y_e. Portanto a menor altura do espelho é independente da distância da pessoa ao espelho e independente da posição exata dos olhos — basta que o espelho esteja colocado verticalmente entre essas duas alturas. Isso justifica a resposta esperada \dfrac{h}{2}.

Passo 7

Explicação física e geométrica curta e intuitiva para (a):\n- Intuitivamente, a imagem virtual está “do outro lado” do espelho à mesma distância. Quando você olha para o topo, o ponto do espelho por onde o raio refletido passa é exatamente o ponto médio vertical entre os olhos e o topo da imagem; o mesmo vale para os pés. Portanto o espelho precisa cobrir exatamente metade da sua altura. Pronto — é por isso que um espelho de meia-altura permite ver o corpo todo!

Passo 8

Agora a parte (b): velocidade relativa entre a pessoa e a imagem.\n- Seja d(t) a distância (positiva) entre a pessoa e o plano do espelho no instante t. Pela simetria da imagem em espelho plano, a imagem está à distância d(t) do espelho do outro lado, ou seja, sua posição (em coordenada horizontal) é o simétrico.\n- A distância entre a pessoa e a sua imagem é, portanto,\n \;D(t)=2\,d(t).\n- Derivando em relação ao tempo t (velocidade escalar de afastamento entre pessoa e imagem):\n \;\dot{D}(t)=2\,\dot{d}(t).\n- Se a pessoa se afasta do espelho com velocidade \dot{d}(t)=v, então a velocidade com que a imagem se afasta da pessoa (velocidade de variação da separação) é 2v.\n- Com v=2,4\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} obtemos\n \;2v = 2\cdot 2,4\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 4,8\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.\nIntuição: quando você anda para trás, a sua imagem “do outro lado” também parece afastar-se, e a separação entre vocês cresce duas vezes mais rápido do que a sua velocidade em relação ao espelho.

Resposta

\dfrac{h}{2}\n 4,8\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

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