Exercício 1
Considera um espelho plano vertical.
(a) Qual é a menor altura que o espelho precisa ter para que uma pessoa de altura
possa ver sua imagem completa no espelho? Explique!
Resposta esperada:
. Explique!
(b) Se você se afasta do espelho com velocidade
, com que velocidade a imagem se afasta de você? Explique!
Resposta esperada:
. Explique!
(a) Qual é a menor altura que o espelho precisa ter para que uma pessoa de altura
Resposta esperada:
(b) Se você se afasta do espelho com velocidade
Resposta esperada:
Passo 1
O enunciado dá um espelho plano vertical e uma pessoa de altura
.\n(a) Pergunta: qual é a menor altura que o espelho precisa ter para que a pessoa veja a sua imagem completa? A resposta esperada é
.\n(b) Pergunta: se a pessoa se afasta do espelho com velocidade
, com que velocidade a imagem se afasta da pessoa? A resposta esperada é
.\nInformações relevantes: espelho plano (imagem virtual, simétrica ao objeto em relação ao plano do espelho), posição dos olhos da pessoa pode ser qualquer ponto entre o pé e o topo (não foi dada explicitamente), e o movimento do objeto é ao longo da direção normal ao espelho (afastando-se).
Passo 2
Conceitos essenciais (explicados com calma):\n- Imagem em espelho plano: a imagem é virtual, localizada atrás do espelho, com as mesmas dimensões do objeto e à mesma distância do espelho que o objeto está na frente. Isso significa que se o objeto está a uma distância
à frente do plano do espelho, sua imagem está a distância
atrás do plano do espelho.\n- Lei da reflexão (breve): o raio incidente e o raio refletido fazem o mesmo ângulo com a normal ao espelho. Uma maneira prática de usar isso é o truque geométrico da imagem virtual: para prever por onde um raio refletido vai, basta traçar uma linha reta do observador até o ponto correspondente da imagem virtual (como se o espelho não estivesse lá) e ver onde essa linha corta o plano do espelho.\nVou usar esse conceito de imagem virtual porque simplifica muito a geometria: os raios refletidos parecem vir de pontos da imagem virtual, então podemos tratar a propagação como segmentos retos entre o olho e o ponto da imagem virtual.
Passo 3
Configuração geométrica precisa (escolha coordenadas para ficar claro):\n- Coloco o plano do espelho vertical no eixo
.\n- A pessoa está inteiramente no lado
; para simplificar, tomo a posição horizontal de todos os pontos do corpo (topo, pés e olhos) como
, com
— isto é, a pessoa fica a uma distância
do espelho.\n- No eixo vertical tomo a origem no chão. Assim o pé fica em
e o topo da cabeça em
. As alturas são unidades verticais.\n- A altura dos olhos chamo de
, com
. Não precisamos saber o valor de
— essa liberdade vai mostrar que a conclusão não depende de onde estão os olhos.\n- Pela propriedade da imagem em espelho plano, a imagem virtual correspondente está atrás do espelho, simetricamente: o ponto do topo da cabeça tem imagem em
, os pés têm imagem em
, e os olhos têm imagem em
.
Passo 4
Determinar onde, no espelho, um raio que venha do topo da imagem e vá para os olhos corta o plano do espelho:\n- Considere o segmento que liga os olhos da pessoa (no ponto
) ao topo da imagem virtual (no ponto
).\n- Parametrizo a reta entre esses dois pontos por um parâmetro
:\n
\n- Queremos o ponto onde essa reta cruza o plano do espelho
. Igualando
dá\n
\n- Agora calculo a coordenada vertical
nesse mesmo
:\n
\nConclusão: o raio que “vem” do topo da imagem e chega aos olhos intersecta o espelho na altura
.
Passo 5
Fazer o mesmo para os pés:\n- Considere agora a reta que liga os olhos
à imagem do pé
.\n- Usando o mesmo argumento, quando essa reta cruza
o parâmetro é
(mesma simetria horizontal), então a altura de interseção é\n
\nConclusão: o raio que “vem” do pé da imagem e chega aos olhos intersecta o espelho na altura
.
Passo 6
Determinar a altura mínima do espelho (juntando os dois resultados):\n- Para que os olhos vejam simultaneamente o topo e os pés da imagem, o espelho precisa cobrir, verticalmente, pelo menos do ponto onde chega o raio vindo do pé até o ponto onde chega o raio vindo do topo.\n- Esses pontos têm alturas
(parte inferior do espelho) e
(parte superior do espelho).\n- Assim a altura necessária do espelho é\n
\nObservação importante: a expressão resultante não envolve
nem
. Portanto a menor altura do espelho é independente da distância da pessoa ao espelho e independente da posição exata dos olhos — basta que o espelho esteja colocado verticalmente entre essas duas alturas. Isso justifica a resposta esperada
.
Passo 7
Explicação física e geométrica curta e intuitiva para (a):\n- Intuitivamente, a imagem virtual está “do outro lado” do espelho à mesma distância. Quando você olha para o topo, o ponto do espelho por onde o raio refletido passa é exatamente o ponto médio vertical entre os olhos e o topo da imagem; o mesmo vale para os pés. Portanto o espelho precisa cobrir exatamente metade da sua altura. Pronto — é por isso que um espelho de meia-altura permite ver o corpo todo!
Passo 8
Agora a parte (b): velocidade relativa entre a pessoa e a imagem.\n- Seja
a distância (positiva) entre a pessoa e o plano do espelho no instante
. Pela simetria da imagem em espelho plano, a imagem está à distância
do espelho do outro lado, ou seja, sua posição (em coordenada horizontal) é o simétrico.\n- A distância entre a pessoa e a sua imagem é, portanto,\n
\n- Derivando em relação ao tempo
(velocidade escalar de afastamento entre pessoa e imagem):\n
\n- Se a pessoa se afasta do espelho com velocidade
, então a velocidade com que a imagem se afasta da pessoa (velocidade de variação da separação) é
.\n- Com
obtemos\n
\nIntuição: quando você anda para trás, a sua imagem “do outro lado” também parece afastar-se, e a separação entre vocês cresce duas vezes mais rápido do que a sua velocidade em relação ao espelho.