Um carro desloca-se a
e está a 110 km em linha reta da cidade de Nossa Senhora do Perpétuo Socorro do Rio Sapucaí Mirim de Baixo. Outro carro segue 10 km à frente, a
, acelerando a
. Os dois seguem no mesmo sentido.
Determine qual carro chega primeiro à cidade e com qual velocidade, quanto tempo antes e a qual distância do segundo.
Determine qual carro chega primeiro à cidade e com qual velocidade, quanto tempo antes e a qual distância do segundo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que está rolando aqui. Temos dois carros indo na mesma direção para a cidade de Nossa Senhora do Perpétuo Socorro do Rio Sapucaí Mirim de Baixo. O primeiro carro está 110 km longe da cidade e viaja a 110 km/h, ou seja, está se movendo de forma constante. O segundo carro está 10 km à frente, ou seja, 100 km da cidade, começando com uma velocidade de 80 km/h e acelerando a 40 km/h². Vamos usar cinemática, especialmente os conceitos de movimento retilíneo uniforme (MRU) e movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), para descobrir qual dos dois chega primeiro, com que velocidade, quanto tempo de vantagem e a que distância do segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro carro, que está se movendo de forma uniforme (velocidade constante). A fórmula para calcular o tempo necessário para chegar à cidade é bem direta:
Então, o primeiro carro leva 1 hora para chegar à cidade.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo carro, que está em movimento uniformemente variado (ou seja, com aceleração). Para esse caso, usamos a equação do movimento:
Onde:
- $ s = 100, km $ (distância até a cidade)
- $ v_0 = 80, km/h $ (velocidade inicial)
- $ a = 40, km/h^2 $ (aceleração)
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Rearranjando tudo para formar uma equação quadrática:
Dividindo todos os termos por 20 para simplificar:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 4 $ e $ c = -5 $:
Obtemos duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos $ t = -5 $ e ficamos com $ t = 1, hora $.
Passo 4
Agora que temos os tempos que cada carro leva para chegar à cidade:
- Primeiro carro: 1 hora
- Segundo carro: 1 hora
Ambos os carros levam o mesmo tempo para chegar à cidade.
Passo 5
Vamos verificar as velocidades finais para garantir que não haja erro:
Para o segundo carro, que estava acelerando, a velocidade final após 1 hora é:
Resposta
Ambos os carros chegam ao mesmo tempo na cidade, após 1 hora de viagem. O segundo carro, que acelerou, atinge uma velocidade final de 120 km/h. Não há diferença de tempo ou distância entre eles na chegada.