Admita que a densidade do ar diminui com a segunda potência da altitude até zero.
b) Encontre a função da densidade com a altitude rho(y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade do ar cai até zero obedecendo à “segunda potência da altitude”, ou seja, varia como . O assunto é montar uma função polinomial que represente essa variação, usando condições de contorno (densidade conhecida no nível do mar e densidade zero numa certa altura). Para resolver isso, vamos:
  • Assumir uma forma geral .
  • Usar duas condições (em e em , onde é a altitude em que a densidade some) para achar e .

Passo 2

Escrevendo a forma geral da função de densidade:
rho(y)=a,y^2 + b
– aqui e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Usamos as condições do problema:
  1. No nível do mar ( rho(0)=acdot 0^2 + b = b Longrightarrow b = rho0 ), a densidade é máxima; chamamos isso de rho(Y)=a,Y^2 + rho0 = 0 Longrightarrow a = -,rho0Y^2 .
    Substituindo em :
  2. Na altitude , a densidade chega a zero:

Passo 4

Agora que já sabemos rho(y) = underbracel(-rho0Y^2r)a,y^2 + underbracerho0b = rho0;l(1 - y^2Y^2r) e , substituímos na forma geral:

Resposta

boxed rho(y)=rho0;l(1 - tfracy^2Y^2r),
onde é a densidade ao nível do mar e é a altitude em que a densidade se anula.

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