Um edifício tem 10 andares, com 4 metros por andar. Esferas iguais serão largadas de uma altura de 1,5 m do chão de cada andar, pela janela, na vertical. Determine qual deve ser a sequência temporal destes eventos para que todas as esferas cheguem ao solo no mesmo instante de tempo, supondo que a primeira esfera é largada em t=0 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Nesse exercício, a gente tem um prédio com 10 andares, onde cada andar tem 4 metros de altura. A ideia é soltar esferas de 1,5 metros acima do chão de cada andar, uma de cada vez, de forma que todas cheguem ao solo ao mesmo tempo. A primeira esfera é solta em $ t = 0 , \mathrm{s} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de queda livre e as fórmulas de física relacionadas ao movimento uniformemente acelerado.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura total de onde cada esfera vai ser soltada. Cada andar tem 4 metros, então o primeiro andar está a 4 metros do chão, o segundo a 8 metros, e assim por diante, até o décimo andar que está a 40 metros do chão. Mas lembre-se que as esferas são soltas a 1,5 metros acima do chão de cada andar. Então, a altura total de soltura para cada andar será:
hn = (4 times n) + 1,5 , m
Onde $ n $ é o número do andar (de 1 a 10).

Passo 3

Agora, precisamos calcular o tempo que cada esfera leva para cair dessa altura $ h_n $ até o solo. Para isso, usamos a fórmula da queda livre:
hn
Onde:
  • $ h $ é a altura da queda,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,8 , \mathrm{m/s^2} $),
  • $ t $ é o tempo de queda.
Vamos rearranjar essa fórmula para resolver para $ t $:
h = 12 g t^2

Passo 4

Vamos calcular o tempo de queda para cada andar usando a fórmula acima. Primeiro, listamos a altura de soltura de cada andar:
h1 &= (4 times 1) + 1,5 = 5,5 , m h2 &= (4 times 2) + 1,5 = 9,5 , m &vdots h10 &= (4 times 10) + 1,5 = 41,5 , m
Agora, calculamos o tempo de queda para cada altura:
t1 &= raiz2 times 5,59,8 approx raiz1,122 approx 1,06 , s t2 &= raiz2 times 9,59,8 approx raiz1,939 approx 1,39 , s &vdots t10 &= raiz2 times 41,59,8 approx raiz8,469 approx 2,91 , s

Passo 5

Como queremos que todas as esferas cheguem ao solo ao mesmo tempo, precisamos sincronizar os momentos em que cada uma é solta. O último tempo de queda será o tempo comum que todas devem atingir, que é $ t_{10} \approx 2,91 , \mathrm{s} $.
Isso significa que a esfera do 10º andar é solta no $ t = 0 , \mathrm{s} $, a do 9º andar deve ser solta com um atraso de $ t_{10} - t_9 $, a do 8º andar com um atraso de $ t_{10} - t_8 $, e assim por diante, até a esfera do 1º andar, que terá o maior atraso.

Passo 6

Vamos calcular os atrasos para cada andar:
De

Resposta

Para que todas as esferas cheguem ao solo ao mesmo tempo (≈ 2,91 segundos após a soltura da última), as esferas devem ser soltadas com os seguintes atrasos a partir de $ t = 0 , \mathrm{s} $:
  • 10º andar: $ t_0 = 0,00 , \mathrm{s} $
  • 9º andar: $ t_9 = 0,14 , \mathrm{s} $
  • 8º andar: $ t_8 = 0,28 , \mathrm{s} $
  • 7º andar: $ t_7 = 0,46 , \mathrm{s} $
  • 6º andar: $ t_6 = 0,63 , \mathrm{s} $
  • 5º andar: $ t_5 = 0,79 , \mathrm{s} $
  • 4º andar: $ t_4 = 0,95 , \mathrm{s} $
  • 3º andar: $ t_3 = 1,10 , \mathrm{s} $
  • 2º andar: $ t_2 = 1,52 , \mathrm{s} $
  • 1º andar: $ t_1 = 1,85 , \mathrm{s} $
Dessa forma, ao soltarem as esferas com esses intervalos de tempo, todas alcançarão o solo simultaneamente após aproximadamente 2,91 segundos desde a soltura da última esfera.

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