Use somas de Riemann para mostrar que
2.
.
2.
Passo 1
O exercício pede para calcular
usando somas de Riemann. Vamos usar o fato de que
é contínua e estritamente crescente em
, além de trabalhar com somas inferior e superior e limites de sequências.
Passo 2
Particionamos o intervalo
em
subintervalos iguais de largura
. Definimos os pontos de partição
para
.
Passo 3
A soma de Riemann inferior (usando o valor mínimo em cada subintervalo) e a soma superior (usando o valor máximo) são:
Passo 4
Calculamos a diferença telescópica entre a soma superior e a inferior:
Como
Passo 5
Para encontrar esse limite, busquemos uma expressão fechada para
Multiplicando por
Logo
Como
Passo 6
Portanto
Se definirmos