Use somas de Riemann para mostrar que
2. integral0^1 e^x d x=c-1.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral0^1 e^x,dx usando somas de Riemann. Vamos usar o fato de que e^x é contínua e estritamente crescente em [0,1], além de trabalhar com somas inferior e superior e limites de sequências.

Passo 2

Particionamos o intervalo [0,1] em n subintervalos iguais de largura De. Definimos os pontos de partição xi=i/n para i=0,1,dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann inferior (usando o valor mínimo em cada subintervalo) e a soma superior (usando o valor máximo) são:
Ln=1nsumi=1^n e^i-1n, Un=1nsumi=1^n e^in

Passo 4

Calculamos a diferença telescópica entre a soma superior e a inferior:
Un-Ln=1nsumi=1^nl(e^in-e^i-1nr)=1n(e^1-e^0)=e-1n
Como (e-1)/nto0 quando ntoinfty, as duas somas convergem para o mesmo limite, que é o valor da integral.

Passo 5

Para encontrar esse limite, busquemos uma expressão fechada para
An=sumj=0^n-1e^jn
Multiplicando por (e^1/n-1) obtemos
(e^1n-1)An=sumj=0^n-1e^j+1n-sumj=0^n-1e^jn=e-1
Logo
An=e-1e^1n-1, Ln=Ann=e-1nl(e^1n-1r)
Como e^1/n-1sim1/n para ntoinfty, segue que Lnto e-1.

Passo 6

Portanto
integral0^1 e^x,dx=limntoinftyLn=e-1
Se definirmos c=e, concluímos que
integral0^1 e^x,dx=c-1

Resposta

c-1

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