Para uma viga engastada submetida a uma carga, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa e secção transversal quadrada de b=0.30 m, considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m.
A solução geral para a viga engastada é
v(x)=C1+C2 x+C32 x^2+C46 x^3+omega0 L^4E I pi^4 sin (pi xL)
a) Resolva com detalhamento a equação diferencial para determinar o deslocamento vertical e o momento fletor ao longo da viga. Calcule os valores numéricos da questão para x=0, x=5 e x=10.

Passo 1

O enunciado trata de uma viga engastada em x=0, livre em x=L, com L=10,m, módulo de Young E=70,MPa e seção quadrada de lado b=0,30,m. A carga distribuída é
omega(x)=omega0sin!l(tfracpi xLr),
com omega0=4,6,kN/m.
O objetivo é resolver a equação de equilíbrio em flexão
E,I,d^4vdx^4=omega(x)
para obter o deslocamento v(x) e o momento fletor M(x)=E,I,v''(x), e então calcular numericamente esses valores em x=0, x=5 e x=10.

Passo 2

Integramos quatro vezes
E,I,v''''(x)=omega0,sin!l(tfracpi xLr)
para obter a solução geral
v(x)=C1+C2,x+C32x^2+C46x^3 +underbraceomega0,L^4E,I,pi^4 A sin!l(tfracpi xLr)

Passo 3

Aplicamos as condições de contorno de uma viga engastada-livre:
;v(0)=0,;v'(0)=0,;v''(L)=0,;v'''(L)=0.
Derivadas:
v'(x)=C2+C3x+C42x^2 +A,piLcos!l(tfracpi xLr),
v''(x)=C3+C4x -A,pi^2L^2sin!l(tfracpi xLr),
v'''(x)=C4 +A,pi^3L^3cos!l(tfracpi xLr)
Em x=0: v(0)=C1=0, v'(0)=C2+A,tfracpiL=0 implies C2=-A,tfracpiL.
Em x=L: v''(L)=C3+C4L=0 implies C3=-C4L,
v'''(L)=C4+A,tfracpi^3L^3cospi=0 implies C4=-A,tfracpi^3L^3.
Logo
C1=0, C2=-ApiL, C3=Api^3L^2, C4=-Api^3L^3

Passo 4

Substituindo em v(x) obtemos
v(x) =Al[ -piL,x +pi^32,L^2,x^2 -pi^36,L^3,x^3 +sin!l(tfracpi xLr) r],
com
A=omega0,L^4E,I,pi^4
O momento fletor é
M(x)=E,I,v''(x) =E,I,Al[pi^3L^2 -pi^3L^3,x -pi^2L^2sin!l(tfracpi xLr)r]
Como E,I,A=omega0L^4/pi^4, simplifica para
M(x) =omega0L^2l[1-tfracxLpi -1pi^2sin!l(tfracpi xLr)r]

Passo 5

Calculamos os parâmetros numéricos:
I=b^412=(0,30)^412=6,75times 10^-4,m^4, E=70times 10^6,Pa, omega0=4600,N/m, L=10,m
Logo
A=4600cdot10^470times10^6cdot6,75times10^-4,pi^4 approx9,995;m
Agora v(x) e M(x) em x=0,5,10:
em x=0: sin0=0, e os termos em x anulam, logo
v(0)=0, M(0)=4600cdot10^2piapprox1,4638times10^5,Ncdot m
em x=5 ( x/L=0,5):
v(5)approx9,995cdot2,6590approx26,58;m, M(5)=4600cdot100l[tfrac0,5pi-tfrac1pi^2r] approx2,6603times10^4,Ncdot m
em x=10: sinpi=0, 1-tfracxL=0, logo
v(10)approx9,995l(-pi+tfracpi^33r)approx71,94;m, M(10)=0

Resposta

v(0)=0,m,  M(0)approx1,46times10^5,N·m
v(5)approx26,6,m,  M(5)approx2,66times10^4,N·m
v(10)approx71,9,m,  M(10)=0,N·m

Exercícios relacionados