Questão - 25 (Fuvest-SP, adaptada). Sejam x e y números reais positivos tais que x+y=pi2. Sabendo-se que sen(y-x)=13, qual o valor de tg^2 y-tg^2 x ?

Passo 1

O enunciado diz que x e y são reais positivos tais que
x + y = pi2
e que
sin(y - x) = 13
O conteúdo aqui é trigonometria: vamos usar a identidade de diferença de ângulos e a relação entre tan^2 e o cosseno do dobro do ângulo.

Passo 2

Substituindo
y = pi2 - x
temos
y - x = pi2 - 2x
Usando a identidade sin!l(tfracpi2-thetar)=cos(theta), segue:
sin(y - x) = sin!l(tfracpi2-2xr) = cos(2x) = 13

Passo 3

Para achar tan^2 x usamos a fórmula
tan^2 x = 1 - cos(2x)1 + cos(2x)
Como cos(2x)=tfrac13,
tan^2 x = 1 - tfrac131 + tfrac13 = tfrac23tfrac43 = 12

Passo 4

Como y = tfracpi2 - x, temos
tan y = cot x Longrightarrow tan^2 y = cot^2 x = 1tan^2 x = 1tfrac12 = 2

Passo 5

Finalmente,
tan^2 y - tan^2 x = 2 - 12 = 32

Resposta

32

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