A equação horária de uma partícula de massa m em movimento retilíneo e uniforme no espaço, em função do tempo t, é
r(t)=a imath+v t jmath+h k
em que a, v e h são constantes no tempo, e i, j e k representam os vetores unitários nas direções dos eixos de um sistema de referência cartesiano.
Determine o momento angular da partícula L em função do tempo ( t), no sistema de referência adotado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física! A gente tem uma partícula que está se movendo em linha reta e com velocidade constante. A equação que descreve a posição dela no tempo é:
r(t) = a,imath + vt,jmath + h,k
O objetivo aqui é encontrar o momento angular dessa partícula, representado por L, em função do tempo. Para isso, vamos precisar entender conceitos de movimentação retilínea uniforme e como calcular o momento angular usando produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento angular L de uma partícula é dado pelo produto vetorial da posição r pela quantidade de movimento p:
L = r times p
E a quantidade de movimento p é o produto da massa m pela velocidade v:
p = mv

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v = dr(t)dt = ddt(a,imath + vt,jmath + h,k) = 0,imath + v,jmath + 0,k = v,jmath
Então, a velocidade da partícula é constante e só na direção jmath.

Passo 4

Agora, calculamos a quantidade de movimento:
p = mv = m,v,jmath

Passo 5

Com a posição r(t) e a quantidade de movimento p, podemos calcular o momento angular:
L = r(t) times p = (a,imath + vt,jmath + h,k) times (m,v,jmath)

Passo 6

Vamos realizar o produto vetorial termo a termo:
  1. a,imath times m,v,jmath = a,m,v,(imath times jmath) = a,m,v,k
  2. vt,jmath times m,v,jmath = vt,m,v,(jmath times jmath) = 0 (porque o produto vetorial de dois vetores paralelos é zero)
  3. h,k times m,v,jmath = h,m,v,(k times jmath) = -h,m,v,i

Passo 7

Juntando os resultados:
L = a,m,v,k - h,m,v,i
Podemos escrever de forma organizada:
L = -m,a,v,imath + m,v,h,k

Resposta

O momento angular da partícula em função do tempo é:
L(t) = -m,a,v,imath + m,v,h,k

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