Um carro move-se para leste sobre uma estrada reta e nivelada com uma velocidade constante
. Um observador está posicionado a uma distância
da estrada. Encontre a velocidade angular
e a aceleração angular
do carro medidas pelo observador, como função do tempo. Suponha que o carro está no ponto mais próximo do observador em
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo para o leste (vamos imaginar na direção laranja do mapa) com uma velocidade constante
. A estrada é reta e nivelada. Um observador está parado a uma distância
da estrada. Queremos descobrir qual é a velocidade angular
e a aceleração angular
do carro conforme visto por esse observador, tudo isso em função do tempo. Ah, e o carro está exatamente no ponto mais próximo do observador em
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática angular, que nos ajudam a entender como objetos se movem em relação a um ponto de observação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do carro em função do tempo. Como o carro está se movendo com velocidade constante
para leste, podemos descrever sua posição ao longo do tempo com a equação:
Aqui,
é a posição do carro na estrada em função do tempo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o ângulo
que a linha de visão do observador faz com a estrada no instante
. O observador está a uma distância
da estrada, então temos um triângulo retângulo onde:
- O cateto adjacente é
(distância do observador à estrada). - O cateto oposto é
(posição do carro ao longo da estrada).
O ângulo
pode ser encontrado usando a função tangente:
Então, para encontrar
:
Passo 4
Agora que temos
, vamos encontrar a velocidade angular
, que é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Isso significa que
é a derivada de
em relação ao tempo
:
Vamos derivar
em relação a
.
Passo 5
Lembre-se que a derivada de
em relação a
é:
Aplicando a regra da cadeia, onde
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a aceleração angular
, que é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo. Isso significa que
é a derivada de
em relação a
:
Vamos derivar
em relação a
.
Passo 7
Utilizando a regra do quociente para derivadas:
Aqui,
(que é constante, então
) e
, então
.
Aplicando a regra:
Resposta
Portanto, as expressões para a velocidade angular e a aceleração angular do carro, medidas pelo observador, em função do tempo são: