Um carro move-se para leste sobre uma estrada reta e nivelada com uma velocidade constante v. Um observador está posicionado a uma distância b da estrada. Encontre a velocidade angular omega e a aceleração angular alpha do carro medidas pelo observador, como função do tempo. Suponha que o carro está no ponto mais próximo do observador em t=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carro que está se movendo para o leste (vamos imaginar na direção laranja do mapa) com uma velocidade constante v. A estrada é reta e nivelada. Um observador está parado a uma distância b da estrada. Queremos descobrir qual é a velocidade angular omega e a aceleração angular alpha do carro conforme visto por esse observador, tudo isso em função do tempo. Ah, e o carro está exatamente no ponto mais próximo do observador em t = 0.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática angular, que nos ajudam a entender como objetos se movem em relação a um ponto de observação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do carro em função do tempo. Como o carro está se movendo com velocidade constante v para leste, podemos descrever sua posição ao longo do tempo com a equação:
x(t) = v cdot t
Aqui, x(t) é a posição do carro na estrada em função do tempo t.

Passo 3

Agora, vamos determinar o ângulo theta(t) que a linha de visão do observador faz com a estrada no instante t. O observador está a uma distância b da estrada, então temos um triângulo retângulo onde:
  • O cateto adjacente é b (distância do observador à estrada).
  • O cateto oposto é x(t) = v cdot t (posição do carro ao longo da estrada).
O ângulo theta(t) pode ser encontrado usando a função tangente:
tan(theta(t)) = x(t)b = v cdot tb
Então, para encontrar theta(t):
theta(t) = arctan(v cdot tb)

Passo 4

Agora que temos theta(t), vamos encontrar a velocidade angular omega(t), que é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Isso significa que omega(t) é a derivada de theta(t) em relação ao tempo t:
omega(t) = dtheta(t)dt
Vamos derivar theta(t) = arctan(v cdot tb) em relação a t.

Passo 5

Lembre-se que a derivada de arctan(u) em relação a u é:
dduarctan(u) = 11 + u^2
Aplicando a regra da cadeia, onde u = v cdot tb, temos:
omega(t) = ddtarctan(v cdot tb) = 11 + (v cdot tb)^2 cdot vb
Simplificando:
omega(t) = vb cdot 11 + (v cdot tb)^2 = v cdot bb^2 + v^2 t^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar a aceleração angular alpha(t), que é a taxa de variação da velocidade angular em relação ao tempo. Isso significa que alpha(t) é a derivada de omega(t) em relação a t:
alpha(t) = domega(t)dt
Vamos derivar omega(t) = v cdot bb^2 + v^2 t^2 em relação a t.

Passo 7

Utilizando a regra do quociente para derivadas:
ddt(AB) = A' cdot B - A cdot B'B^2
Aqui, A = v cdot b (que é constante, então A' = 0) e B = b^2 + v^2 t^2, então B' = 2v^2 t.
Aplicando a regra:
alpha(t) = 0 cdot (b^2 + v^2 t^2) - v cdot b cdot 2v^2 t(b^2 + v^2 t^2)^2 = -2v^3 b t(b^2 + v^2 t^2)^2

Resposta

Portanto, as expressões para a velocidade angular e a aceleração angular do carro, medidas pelo observador, em função do tempo são:
omega(t) = v cdot bb^2 + v^2 t^2
alpha(t) = -2v^3 b t(b^2 + v^2 t^2)^2

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