Um trenó a jato move-se sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade
. Um observador parado a uma distância
dos trilhos mede a velocidade angular
como constante. Encontre
, assumindo que o trenó a jato está no ponto mais próximo do observador quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um trenó a jato se movendo sobre trilhos retos e horizontais com uma velocidade que depende do tempo, chamada de
. Um observador está parado a uma distância
dos trilhos e percebe que a velocidade angular do trenó,
, é constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para
. Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e velocidade angular. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa velocidade angular constante
. A velocidade angular é a taxa na qual o ângulo está mudando em relação ao tempo. Se
é constante, isso significa que o ângulo muda de maneira uniforme com o tempo.
Passo 3
Vamos imaginar que o observador está em um ponto fixo a uma distância
dos trilhos. Quando o trenó está no ponto mais próximo do observador (quando
), ele está diretamente abaixo do observador. À medida que o trenó se move, ele descreve um movimento circular visto pelo observador.
Passo 4
Como a velocidade angular
é constante, o ângulo
que o trenó faz com a posição inicial aumenta linearmente com o tempo. Então podemos escrever:
Passo 5
Agora, vamos relacionar essa movimentação angular com a velocidade linear
do trenó. A velocidade linear é a derivada da posição em relação ao tempo. Se considerarmos que o trenó está se movendo em linha reta, podemos decompor sua velocidade nas direções perpendicular e paralela à linha de visão do observador.
Passo 6
No instante
, o trenó está no ponto mais próximo, então sua posição pode ser representada em coordenadas cartesianas como
. Conforme ele se move, sua posição em termos de
será:
Passo 7
Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
Como
, temos:
Passo 8
Então, a velocidade vetorial
do trenó é:
Onde
é o vetor unitário na direção horizontal.
Resposta
A velocidade do trenó a jato em função do tempo é: