Um trenó a jato move-se sobre trilhos horizontais retos com uma velocidade v(t). Um observador parado a uma distância b dos trilhos mede a velocidade angular omega como constante. Encontre v(t), assumindo que o trenó a jato está no ponto mais próximo do observador quando t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um trenó a jato se movendo sobre trilhos retos e horizontais com uma velocidade que depende do tempo, chamada de v(t). Um observador está parado a uma distância b dos trilhos e percebe que a velocidade angular do trenó, omega, é constante. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para v(t). Para isso, vamos usar conceitos de movimento circular e velocidade angular. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa velocidade angular constante omega. A velocidade angular é a taxa na qual o ângulo está mudando em relação ao tempo. Se omega é constante, isso significa que o ângulo muda de maneira uniforme com o tempo.

Passo 3

Vamos imaginar que o observador está em um ponto fixo a uma distância b dos trilhos. Quando o trenó está no ponto mais próximo do observador (quando t=0), ele está diretamente abaixo do observador. À medida que o trenó se move, ele descreve um movimento circular visto pelo observador.

Passo 4

Como a velocidade angular omega é constante, o ângulo theta que o trenó faz com a posição inicial aumenta linearmente com o tempo. Então podemos escrever:
theta(t) = omega t

Passo 5

Agora, vamos relacionar essa movimentação angular com a velocidade linear v(t) do trenó. A velocidade linear é a derivada da posição em relação ao tempo. Se considerarmos que o trenó está se movendo em linha reta, podemos decompor sua velocidade nas direções perpendicular e paralela à linha de visão do observador.

Passo 6

No instante t=0, o trenó está no ponto mais próximo, então sua posição pode ser representada em coordenadas cartesianas como (0, -b). Conforme ele se move, sua posição em termos de theta(t) será:
x(t) = b tan(theta(t))
y(t) = b

Passo 7

Para encontrar a velocidade, derivamos a posição em relação ao tempo:
vx(t) = dxdt = b sec^2(theta(t)) cdot dthetadt
vy(t) = 0
Como dthetadt = omega, temos:
vx(t) = b sec^2(omega t) cdot omega

Passo 8

Então, a velocidade vetorial v(t) do trenó é:
v(t) = omega b sec^2(omega t) , i
Onde i é o vetor unitário na direção horizontal.

Resposta

A velocidade do trenó a jato em função do tempo é:
v(t) = omega b sec^2(omega t) , i

Exercícios relacionados