O disco de CD de música (compact disc/digital audio) possui raios interno e externo para o material gravado (os concertos para violino de Tchaikovsky e Mendelssohn) de
e
, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido a uma velocidade linear constante de 130 cm/s, iniciando da borda interna para fora. As linhas da varredura em espiral estão separadas de
; qual é o comprimento total da varredura?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um CD tem raio interno
e externo
. Ele é lido com velocidade linear constante de
, e as voltas da trilha espiral ficam separadas radialmente por
.
Conteúdo: geometria de espiral (Arquímedes) e cálculo aproximado de comprimento de trilha. Vamos usar que a espiral tem passo radial constante e aproximar o comprimento total.
Conteúdo: geometria de espiral (Arquímedes) e cálculo aproximado de comprimento de trilha. Vamos usar que a espiral tem passo radial constante e aproximar o comprimento total.
Passo 2
Na espiral de Arquímedes, a separação radial entre voltas é
logo o parâmetro
é
Mas a forma mais direta é notar que o número total de voltas
é
pois a cada volta subimos radialmente
.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Para cada volta, o comprimento aproximado é a circunferência numa “raio médio”
Então o comprimento total
vale
Passo 5
Convertendo para unidades mais amigáveis:
Pronto!
Resposta
O comprimento total da varredura é aproximadamente