O disco de CD de música (compact disc/digital audio) possui raios interno e externo para o material gravado (os concertos para violino de Tchaikovsky e Mendelssohn) de 2,50 cm e 5,80 cm, respectivamente. Durante a execução, o disco é varrido a uma velocidade linear constante de 130 cm/s, iniciando da borda interna para fora. As linhas da varredura em espiral estão separadas de 1,60 mu m; qual é o comprimento total da varredura?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um CD tem raio interno e externo . Ele é lido com velocidade linear constante de , e as voltas da trilha espiral ficam separadas radialmente por .
Conteúdo: geometria de espiral (Arquímedes) e cálculo aproximado de comprimento de trilha. Vamos usar que a espiral tem passo radial constante e aproximar o comprimento total.

Passo 2

Na espiral de Arquímedes, a separação radial entre voltas é
s = r(theta+2pi) - r(theta) = 2pi a
logo o parâmetro a = s2pi, é
N = r2 - r1s,,
Mas a forma mais direta é notar que o número total de voltas é
pois a cada volta subimos radialmente .

Passo 3

Calculando s = 1,60 mum = 1,60times10^-4 cm, r2 - r1 = 5,80 - 2,50 = 3,30 cm, :
N = 3,301,60times10^-4 approx 2,0625times10^4 vo

Passo 4

Para cada volta, o comprimento aproximado é a circunferência numa “raio médio”
rmédio = r1 + r22 = 2,50 + 5,802 = 4,15 cm é
Então o comprimento total L approx 2pi,rmédiotimes N = 2pi times 4,15 times 2,0625times10^4 approx 5,38times10^5 cm vale
é

Passo 5

Convertendo para unidades mais amigáveis:
5,38times10^5 cm = 5,38times10^3 m = 5,38 km
Pronto!

Resposta

O comprimento total da varredura é aproximadamente

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