Um carro se move no plano seguindo a trajetória descrita pela função posição:
onde
está em metros e t está em segundos.
Encontre o módulo da velocidade no instante
.
Encontre o módulo da velocidade no instante
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que se move seguindo uma trajetória descrita pela função posição:
Aqui,
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo é encontrar o módulo da velocidade desse carro no instante
segundos. Para isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções vetoriais e calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, pra encontrar a velocidade, a gente precisa derivar a função posição em relação ao tempo
. A velocidade é a primeira derivada da posição.
Então, vamos derivar cada componente de
:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Assim, a função velocidade
fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade no instante
segundos substituindo
por
na função
:
- Componente
: - Componente
:
Portanto, a velocidade no instante
segundos é:
Passo 4
Finalmente, para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Onde
e
são as componentes do vetor velocidade.
Substituindo:
Resposta
O módulo da velocidade no instante
segundos é 61 m/s.