Um carro se move no plano seguindo a trajetória descrita pela função posição:
r(t)=(t^2-4 t) i+(2 t^4-3 t+1) j
onde r(t) está em metros e t está em segundos.
Encontre o módulo da velocidade no instante t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um carro que se move seguindo uma trajetória descrita pela função posição:
r(t) = (t^2 - 4t) i + (2t^4 - 3t + 1) j
Aqui, r(t) está em metros e t em segundos. Nosso objetivo é encontrar o módulo da velocidade desse carro no instante t = 2 segundos. Para isso, vamos precisar entender de cálculo vetorial, especificamente como derivar funções vetoriais e calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, pra encontrar a velocidade, a gente precisa derivar a função posição em relação ao tempo t. A velocidade é a primeira derivada da posição.
Então, vamos derivar cada componente de r(t):
  • Derivada de (t^2 - 4t) em relação a t é 2t - 4.
  • Derivada de (2t^4 - 3t + 1) em relação a t é 8t^3 - 3.
Assim, a função velocidade v(t) fica:
v(t) = (2t - 4) i + (8t^3 - 3) j

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade no instante t = 2 segundos substituindo t por 2 na função v(t):
  • Componente i: 2(2) - 4 = 4 - 4 = 0
  • Componente j: 8(2)^3 - 3 = 8(8) - 3 = 64 - 3 = 61
Portanto, a velocidade no instante t = 2 segundos é:
v(2) = 0 i + 61 j

Passo 4

Finalmente, para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
|v| = raiz(vx)^2 + (vy)^2
Onde vx e vy são as componentes do vetor velocidade.
Substituindo:
|v(2)| = raiz0^2 + 61^2 = raiz0 + 3721 = raiz3721 = 61 m/s

Resposta

O módulo da velocidade no instante t = 2 segundos é 61 m/s.

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