Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de v0=80 m / s a um ângulo de theta=45^circ em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é g=9,8 m / s^2, determine:
A velocidade do projétil no momento em que atinge o solo (módulo e direção).

Passo 1

Beleza, vamos cuidar deste exercício de física sobre movimento de projétil. A gente tem um projétil sendo lançado de uma plataforma que está a 50 metros de altura, com uma velocidade inicial de 80 m/s e num ângulo de 45 graus em relação ao chão. A nossa missão aqui é descobrir qual será a velocidade do projétil quando ele atingir o solo, tanto a magnitude (o tamanho da velocidade) quanto a direção.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante (sem atrito do ar), e a vertical sofre a aceleração da gravidade.
A componente horizontal $ v_{0x} $ é dada por:
v0x
E a componente vertical $ v_{0y} $ é:
v0x = v0 cdot cos(theta)
Como $ \theta = 45^\circ $, e sabemos que $ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, a gente calcula:
v0y
v0y = v0 cdot sin(theta)

Passo 3

Agora, vamos descobrir o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a altura inicial:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Onde:
  • $ y $ é a posição final (0 m, no solo),
  • $ y_0 = 50 $ m,
  • $ v_{0y} \approx 56,57 $ m/s,
  • $ g = 9,8 $ m/s².
Substituindo:
y
Resolvendo essa equação quadrática para $ t $:
y0 = 50
Usando a fórmula de Bhaskara:
v0y approx 56,57
Calculando o discriminante:
g = 9,8
Então:
0 = 50 + 56,57 t - 4,9 t^2
Desconsideramos a solução negativa porque o tempo não pode ser negativo.

Passo 4

Com o tempo de voo $ t \approx 12,37 $ segundos, podemos encontrar a velocidade vertical no instante de impacto usando:
t approx 12,37
Substituindo:
vy = v0y - g t
O sinal negativo indica que a direção da velocidade vertical é para baixo.

Passo 5

Agora, a componente horizontal da velocidade permanece a mesma durante todo o trajeto, ou seja:
vx approx 56,57 , m/s

Passo 6

Para encontrar a magnitude da velocidade total no impacto, usamos o teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo:
v = raiz(56,57)^2 + (-64,56)^2 approx raiz3200 + 4167,28 approx raiz7367,28 approx 85,81 , m/s

Passo 7

Para achar a direção da velocidade, calculamos o ângulo $ \phi $ em relação à horizontal usando a tangente:
phi
Então:
tan(phi) = |vy|vx

Resposta

A velocidade do projétil no momento de atingir o solo tem uma magnitude de aproximadamente 85,81 m/s e está direcionada a 48,3° abaixo da horizontal.

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