Um projétil é lançado de uma plataforma de h=50m de altura, com uma velocidade inicial de
a um ângulo de
em relação à horizontal. Sabendo que a aceleração da gravidade é
, determine:
A velocidade do projétil no momento em que atinge o solo (módulo e direção).
A velocidade do projétil no momento em que atinge o solo (módulo e direção).
Passo 1
Beleza, vamos cuidar deste exercício de física sobre movimento de projétil. A gente tem um projétil sendo lançado de uma plataforma que está a 50 metros de altura, com uma velocidade inicial de 80 m/s e num ângulo de 45 graus em relação ao chão. A nossa missão aqui é descobrir qual será a velocidade do projétil quando ele atingir o solo, tanto a magnitude (o tamanho da velocidade) quanto a direção.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque a velocidade horizontal permanece constante (sem atrito do ar), e a vertical sofre a aceleração da gravidade.
A componente horizontal $ v_{0x} $ é dada por:
E a componente vertical $ v_{0y} $ é:
Como $ \theta = 45^\circ $, e sabemos que $ \cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, a gente calcula:
Passo 3
Agora, vamos descobrir o tempo que o projétil leva para atingir o solo. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a altura inicial:
Onde:
- $ y $ é a posição final (0 m, no solo),
- $ y_0 = 50 $ m,
- $ v_{0y} \approx 56,57 $ m/s,
- $ g = 9,8 $ m/s².
Substituindo:
Resolvendo essa equação quadrática para $ t $:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Calculando o discriminante:
Então:
Desconsideramos a solução negativa porque o tempo não pode ser negativo.
Passo 4
Com o tempo de voo $ t \approx 12,37 $ segundos, podemos encontrar a velocidade vertical no instante de impacto usando:
Substituindo:
O sinal negativo indica que a direção da velocidade vertical é para baixo.
Passo 5
Agora, a componente horizontal da velocidade permanece a mesma durante todo o trajeto, ou seja:
Passo 6
Para encontrar a magnitude da velocidade total no impacto, usamos o teorema de Pitágoras:
Substituindo:
Passo 7
Para achar a direção da velocidade, calculamos o ângulo $ \phi $ em relação à horizontal usando a tangente:
Então:
Resposta
A velocidade do projétil no momento de atingir o solo tem uma magnitude de aproximadamente 85,81 m/s e está direcionada a 48,3° abaixo da horizontal.