Um projétil é lançado a partir de um prédio de altura 50 m com uma velocidade inicial de
, formando um ângulo de
a horizontal. Determine qual deve ser a distancia de um segundo prédio para que o projétil atinja seu teto, considerando que sua altura é de 30 m . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade como
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de projéteis. A gente tem um projétil lançado de um prédio de 50 metros de altura, com uma velocidade inicial de 25 metros por segundo formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. Queremos descobrir quão longe está o segundo prédio para que o projétil atinja o teto desse segundo prédio, que tem 30 metros de altura. Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento vertical e horizontal, e considerar a aceleração da gravidade $ g = 9,8 \ \mathrm{m/s^2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nos componentes horizontal ($ v_{0x}
v_{0y} $). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes um do outro.
A fórmula para as componentes é:
Onde:
- $ v_0 = 25 \ \mathrm{m/s} $ é a velocidade inicial
- $ \theta = 30° $ é o ângulo de lançamento
Passo 3
Vamos calcular as componentes:
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento vertical. Queremos que o projétil alcance uma altura total de 50 m (do primeiro prédio) + 30 m (do segundo prédio) = 80 m. Então, a altura máxima $ h $ que o projétil deve atingir é 80 metros.
A equação do movimento vertical é:
Onde:
- $ h_0 = 50 \ \mathrm{m} $ é a altura inicial
- $ h = 80 \ \mathrm{m} $ é a altura final desejada
- $ g = 9,8 \ \mathrm{m/s^2} $ é a aceleração da gravidade
- $ t $ é o tempo de voo até atingir o teto do segundo prédio
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos organizar a equação para resolver o tempo $ t $:
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para $ t $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
- $ a = 4,9 $
- $ b = -12,5 $
- $ c = 30 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Passo 7
Como o discriminante ($ \Delta
-431,75 $), isso indica que não há solução real para o tempo $ t $. Ou seja, o projétil nunca atinge a altura de 80 metros.
Passo 8
Isso significa que, com a velocidade inicial de 25 m/s a 30 graus, o projétil não consegue atingir o teto do segundo prédio de 30 metros. Portanto, não há uma distância horizontal que satisfaça as condições do problema.
Resposta
Não é possível que o projétil atinja o teto do segundo prédio de 30 metros com os dados fornecidos.