Um projétil é lançado a partir de um prédio de altura 50 m com uma velocidade inicial de 25 m / s, formando um ângulo de 30^circ com a horizontal. Determine qual deve ser a distancia de um segundo prédio para que o projétil atinja seu teto, considerando que sua altura é de 30 m . Despreze a resistência do ar e considere a aceleração da gravidade como g=9,8 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre movimento de projéteis. A gente tem um projétil lançado de um prédio de 50 metros de altura, com uma velocidade inicial de 25 metros por segundo formando um ângulo de 30 graus com a horizontal. Queremos descobrir quão longe está o segundo prédio para que o projétil atinja o teto desse segundo prédio, que tem 30 metros de altura. Vamos usar conceitos de cinemática, especificamente as equações do movimento vertical e horizontal, e considerar a aceleração da gravidade $ g = 9,8 \ \mathrm{m/s^2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nos componentes horizontal ($ v_{0x} v0x v_{0y} $). Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes um do outro.
A fórmula para as componentes é:
v0y
v0x = v0 cdot cos(theta)
Onde:
  • $ v_0 = 25 \ \mathrm{m/s} $ é a velocidade inicial
  • $ \theta = 30° $ é o ângulo de lançamento

Passo 3

Vamos calcular as componentes:
v0x = 25 cdot cos(30°) approx 25 cdot 0,8660 approx 21,65 m/s
v0y = 25 cdot sin(30°) = 25 cdot 0,5 = 12,5 m/s

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical. Queremos que o projétil alcance uma altura total de 50 m (do primeiro prédio) + 30 m (do segundo prédio) = 80 m. Então, a altura máxima $ h $ que o projétil deve atingir é 80 metros.
A equação do movimento vertical é:
h
Onde:
  • $ h_0 = 50 \ \mathrm{m} $ é a altura inicial
  • $ h = 80 \ \mathrm{m} $ é a altura final desejada
  • $ g = 9,8 \ \mathrm{m/s^2} $ é a aceleração da gravidade
  • $ t $ é o tempo de voo até atingir o teto do segundo prédio
Substituindo os valores:
h = h0 + v0y t - 12 g t^2

Passo 5

Vamos organizar a equação para resolver o tempo $ t $:
t
0 = - 12 cdot 9,8 t^2 + 12,5 t + 50 - 80
Multiplicando todos os termos por -1 para facilitar:
0 = -4,9 t^2 + 12,5 t - 30

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para $ t $ usando a fórmula de Bhaskara:
t
Onde:
  • $ a = 4,9 $
  • $ b = -12,5 $
  • $ c = 30 $
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 7

Como o discriminante ($ \Delta Deé -431,75 $), isso indica que não há solução real para o tempo $ t $. Ou seja, o projétil nunca atinge a altura de 80 metros.

Passo 8

Isso significa que, com a velocidade inicial de 25 m/s a 30 graus, o projétil não consegue atingir o teto do segundo prédio de 30 metros. Portanto, não há uma distância horizontal que satisfaça as condições do problema.

Resposta

Não é possível que o projétil atinja o teto do segundo prédio de 30 metros com os dados fornecidos.

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