Um projétil é lançado de um ponto no plano XY e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
r(t)=(3 t^2+2 t) i+(4 t-t^2) j
onde r(t) está em metros e t está em segundos.
Determine a função vetorial da aceleração a(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá a posição de um projétil no plano XY em função do tempo, usando uma função vetorial:
r(t) = (3 t^2 + 2 t) i + (4 t - t^2) j
Queremos descobrir a função vetorial da aceleração, a(t). Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especialmente derivadas, porque aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do projétil, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa derivar cada componente de r(t):
Para a componente i:
ddt(3t^2 + 2t) = 6t + 2
Para a componente j:
ddt(4t - t^2) = 4 - 2t
Então, a função velocidade v(t) fica:
v(t) = (6t + 2) i + (4 - 2t) j

Passo 3

Agora, para encontrar a aceleração a(t), vamos derivar a velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
Derivando cada componente de v(t):
Para a componente i:
ddt(6t + 2) = 6
Para a componente j:
ddt(4 - 2t) = -2
Então, a função aceleração a(t) é:
a(t) = 6 i - 2 j

Resposta

A função vetorial da aceleração é:
a(t) = 6, i - 2, j m/s^2

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