Um carro se move no plano seguindo a trajetória descrita pela função posição:
r(t)=(t^2-4 t) i+(2 t^4-3 t+1) j
onde r(t) está em metros e t está em segundos.
Determine o instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um carro em um plano, descrito por uma função posição. Nosso objetivo aqui é encontrar o instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo i. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Além disso, vamos usar vetores para analisar a direção da aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as expressões para a velocidade v(t) e a aceleração a(t) do carro. Sabemos que:
v(t) = dr(t)dt
E então,
a(t) = dv(t)dt = d^2 r(t)dt^2
Vamos calcular essas derivadas para a função posição dada:
r(t) = (t^2 - 4t) i + (2t^4 - 3t + 1) j
Derivando em relação a t:
Velocidade v(t):
v(t) = dr(t)dt = (2t - 4) i + (8t^3 - 3) j
Aceleração a(t):
a(t) = dv(t)dt = (2) i + (24t^2) j

Passo 3

Agora, queremos que a aceleração seja paralela ao eixo i. Isso significa que a componente na direção j da aceleração deve ser zero, porque se houver alguma componente na direção j, a aceleração não será somente na direção i.
Então, vamos igualar a componente j da aceleração a zero:
24t^2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação 24t^2 = 0:
24t^2 = 0 t^2 = 0 t = 0

Resposta

O instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo i é t = 0 segundos.

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