Um carro se move no plano seguindo a trajetória descrita pela função posição:
onde
está em metros e t está em segundos.
Determine o instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo i.
Determine o instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo i.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o movimento de um carro em um plano, descrito por uma função posição. Nosso objetivo aqui é encontrar o instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Além disso, vamos usar vetores para analisar a direção da aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as expressões para a velocidade
e a aceleração
do carro. Sabemos que:
E então,
Vamos calcular essas derivadas para a função posição dada:
Derivando em relação a
:
Velocidade
:
Aceleração
:
Passo 3
Agora, queremos que a aceleração seja paralela ao eixo
. Isso significa que a componente na direção
da aceleração deve ser zero, porque se houver alguma componente na direção
, a aceleração não será somente na direção
.
Então, vamos igualar a componente
da aceleração a zero:
Passo 4
Resolvendo a equação
:
Resposta
O instante de tempo em que a aceleração do carro é paralela ao eixo
é
segundos.