Um projétil é lançado de um ponto no plano XY e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
r(t)=(3 t^2+2 t) i+(4 t-t^2) j
onde r(t) está em metros e t está em segundos.
Determine a função vetorial da velocidade v(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado nos diz que a posição de um projétil no plano XY está dada pela função vetorial:
r(t) = (3 t^2 + 2 t) i + (4 t - t^2) j
Queremos descobrir a função vetorial da velocidade v(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada de uma função vetorial em relação ao tempo.

Passo 2

A velocidade de um objeto é a taxa de variação da sua posição em relação ao tempo. Matematicamente, isso significa que a velocidade v(t) é a derivada da posição r(t) em relação a t. Ou seja:
v(t) = dr(t)dt
Então, vamos derivar cada componente de r(t) separadamente.

Passo 3

Primeiro, vamos derivar a componente em i:
ddt(3 t^2 + 2 t) = 6 t + 2
Aqui, apliquei a regra de derivação básica: a derivada de t^n é n t^n-1.

Passo 4

Agora, vamos derivar a componente em j:
ddt(4 t - t^2) = 4 - 2 t
Novamente, usei a regra de derivação para cada termo individualmente.

Resposta

A função vetorial da velocidade é:
v(t) = (6 t + 2) i + (4 - 2 t) j

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