Um carro se move com velocidade constante em uma estrada. Em um determinado instante, ele passa diante de um marco contendo um número de dois algarismos. Passada 1 h 30 min , o carro encontra outro marco contendo também um número de dois algarismos; os algarismos são os mesmos do primeiro marco, mas escritos na ordem inversa. Passado o mesmo tempo, t=1 h 30 min , o carro encontra um terceiro marco com um número de três algarismos; o primeiro e o terceiro são os mesmos do primeiro marco e escritos na mesma ordem com um zero entre eles. Pede-se:
a velocidade do carro.
a velocidade do carro.
Passo 1
Vamos entender o problema: Um carro está se movendo com velocidade constante em uma estrada. Ele passa por um marco com um número de dois dígitos. Depois de 1 hora e 30 minutos (1 h 30 min), ele encontra outro marco também com dois dígitos, mas os números são os mesmos do primeiro marco invertidos. Passado mais 1 h 30 min, ele encontra um terceiro marco com três dígitos, onde o primeiro e o terceiro dígito são os mesmos do primeiro marco, com um zero no meio. Nosso objetivo é descobrir a velocidade do carro.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de movimento uniforme e manipulação de números de dois e três dígitos.
Passo 2
Vamos chamar o número do primeiro marco de $ AB $, onde $ A $ e $ B $ são os algarismos das dezenas e unidades, respectivamente. Portanto, o valor numérico desse marco é $ 10A + B $.
Passo 3
Após 1 h 30 min, o carro encontra o segundo marco com o número invertido, ou seja, $ BA $. O valor numérico desse marco é $ 10B + A $.
Passo 4
A distância percorrida pelo carro entre os dois marcos é igual à diferença entre os valores numéricos dos dois marcos. Então:
Passo 5
O tempo gasto para percorrer essa distância é de 1 h 30 min, que é igual a 1,5 horas.
Passo 6
Como o carro está se movendo com velocidade constante, podemos usar a fórmula da velocidade:
Passo 7
Após mais 1 h 30 min, o carro encontra o terceiro marco com o número $ A0A $, onde $ A $ é o mesmo dígito das dezenas do primeiro marco e o zero está no meio. O valor numérico desse marco é $ 100A + 0 + A = 101A $.
Passo 8
A distância total percorrida até o terceiro marco é a distância entre o primeiro e o terceiro marco, que é $ 101A - (10A + B) = 91A - B $.
Passo 9
O tempo total gasto para percorrer essa distância é de 3 h (1 h 30 min + 1 h 30 min).
Passo 10
Usando novamente a fórmula da velocidade:
Passo 11
Igualando as duas expressões para a velocidade obtidas nos Passos 6 e 10:
Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Expandindo:
Bringing todos os termos com $ A $ e $ B $ para um lado:
Passo 12
Como $ A $ e $ B $ são algarismos (entre 0 e 9), precisamos encontrar valores inteiros que satisfaçam $ 19B = 109A $. Simplificando a equação:
Como $ B $ deve ser um dígito inteiro, $ A = 1 $ é a única possibilidade que satisfaz $ B $ também sendo um dígito:
Então, $ A = 1 $ e $ B = 6 $.
Passo 13
Agora, substituímos $ A $ e $ B $ na fórmula da velocidade:
Resposta
A velocidade do carro é de 30 km/h.