Um carro se movimenta a uma velocidade de 40 km / h quando o motorista tira completamente o pé do acelerador. A partir desse momento, em decorrência de diversos fatores, incluindo força de resistência do ar e atrito entre os pneus e o solo, o veículo experimenta uma desaceleração proporcional ao quadrado de sua velocidade, de maneira que a=-k v^2. Sabendo-se que é necessário 1 minuto para o carro diminuir a sua velocidade para 10 km / h, determine o deslocamento do carro durante este intervalo. (2,5)

Passo 1

Beleza, vamos resumir a parada: um carro está a v0 = 40 km/h e, a partir do momento em que o motorista tira o pé do acelerador, ele sofre uma desaceleração dada por
a = dvdt = -k,v^2,
Depois de 1 min ( t1=1/60 h) a velocidade cai pra v1 = 10 km/h. A missão é calcular o deslocamento x que ele percorre nesse intervalo.
Conteúdo: equação diferencial de 1ª ordem, separação de variáveis, integração e logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante k. A equação é
dvdt = -k,v^2,
Separamos variáveis:
dvv^2 = -k,dt,
Agora integramos de v0 a v1 e de t=0 a t=t1:
integralv0^v1dvv^2 = -k integral0^t1 dt,
No lado esquerdo, integral v^-2dv = -1v, logo
l[-tfrac1vr]v0^v1 = -k,(t1-0) Longrightarrow l(-tfrac1v1 + tfrac1v0r) = -k,t1,
Multiplicando por -1:
1v1-1v0 = k,t1Longrightarrow k = tfrac1v1-tfrac1v0t1,

Passo 3

Agora o deslocamento x é
x = integral0^t1 v,dt,
Usamos de novo a relação dt = -dvk,v^2 (da separação anterior) e trocamos a variável de integração de t pra v:
x = integralv0^v1 vl(-dvk,v^2r) = -1kintegralv0^v1dvv = -1kl[ln vr]v0^v1 = -1k(ln v1 - ln v0),
Isso dá
x = 1k,ln!l(v0v1r),

Passo 4

Bora botar números. Primeiro t1 = 1 min = tfrac160 h.
  1. Calcula k:
k = tfrac110-tfrac1401/60 = 0.1 - 0.0251/60 = 0.0751/60 = 0.075times 60 = 4.5(h^-1·km^-1),
2) Então
1k = 14.5 = 0.222ldots
  1. E ln!l(tfracv0v1r) = ln(40/10) = ln 4 approx 1.386.
  2. Logo
x = 0.222ldots times 1.386 approx 0.308 km = 308 m,

Resposta

O carro percorre aproximadamente 0,308 km (ou 308 m) enquanto vai de 40,km/h a 10,km/h em 1 minuto.

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