Um carro está parado na rampa de acesso de uma auto-estrada, esperando uma diminuição do tráfego. O motorista se move a uma aceleração constante ao longo da rampa, para entrar na auto-estrada. O carro parte do repouso, move-se ao longo de uma linha reta e atinge uma velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no final da rampa de 120 m de comprimento. (a) Qual a aceleração do carro? (b) Quanto tempo ele leva para percorrer a rampa? (c) O tráfego na auto-estrada se move com uma velocidade constante de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é o deslocamento do tráfego enquanto o carro atravessa a rampa?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e as perguntas para a gente não se perder):
  • Dados relevantes:
    • Velocidade inicial do carro: v_0=0\\ \mathrm{m/s}.
    • Velocidade no final da rampa: v=20\\ \mathrm{m/s}.
    • Comprimento (deslocamento ao longo da rampa): s=120\\ \mathrm{m}.
    • Movimento com aceleração constante ao longo de uma linha reta.
  • O que é pedido:
    (a) Calcular a aceleração do carro a.
    (b) Calcular o tempo t que o carro leva para percorrer a rampa.
    (c) Calcular o deslocamento do tráfego que se move com velocidade constante 20\\ \mathrm{m/s} durante o tempo em que o carro percorre a rampa.

Passo 2

Escolha das fórmulas e explicação das variáveis (aquelas fórmulas clássicas do movimento retilíneo uniformemente acelerado que usamos direto na prova).
  • Variáveis que vamos usar:
    • v_0 = velocidade inicial (em \mathrm{m/s}).
    • v = velocidade final (em \mathrm{m/s}).
    • a = aceleração constante (em \mathrm{m\,s^{-2}}).
    • t = tempo (em \mathrm{s}).
    • s = deslocamento (em \mathrm{m}).
  • Fórmulas úteis (e o porquê delas, de forma curta):
    1. \displaystyle v = v_0 + a t.
      Explicação: aceleração constante significa que a velocidade aumenta linearmente no tempo; a aceleração é a taxa de variação da velocidade.
    2. \displaystyle s = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2.
      Explicação: deslocamento é a soma da parte devido à velocidade inicial e da parte acumulada pela aceleração (área sob a curva velocidade×tempo).
    3. \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s.
      Explicação: obtida ao eliminar o tempo entre as duas fórmulas acima; é útil quando conhecemos v_0, v e s e queremos a sem calcular t primeiro.
  • Estratégia para este problema: usar \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s para achar a diretamente (é a forma mais direta), depois usar \displaystyle v = v_0 + a t para encontrar t. Por fim, o deslocamento do tráfego é simplesmente velocidade do tráfego vezes esse tempo.

Passo 3

Calculando a aceleração a usando \displaystyle v^2 = v_0^2 + 2 a s.
  • Começo isolando a: a=\frac{v^2-v_0^2}{2s}.
  • Substituindo os dados dados ( v=20\\ \mathrm{m/s}, v_0=0\\ \mathrm{m/s}, s=120\\ \mathrm{m}): a=\frac{(20)^2-(0)^2}{2\cdot120}=\frac{400}{240}.
  • Simplificando: a=\frac{5}{3}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\approx1,67\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Interpretação rápida: a aceleração média (e aqui constante) de cerca de 1,67\\ \mathrm{m\,s^{-2}} significa que a cada segundo a velocidade aumenta em aproximadamente 1,67\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calculando o tempo t usando \displaystyle v = v_0 + a t.
  • Isolando t: t=\frac{v-v_0}{a}.
  • Substituindo v=20\\ \mathrm{m/s}, v_0=0\\ \mathrm{m/s} e a=\tfrac{5}{3}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}: t=\frac{20}{5/3}=20\cdot\frac{3}{5}=12\\ \mathrm{s}.
  • Checagem rápida (consistência): velocidade média do carro é \tfrac{v_0+v}{2}=\tfrac{0+20}{2}=10\\ \mathrm{m/s}; multiplicando pela duração t=12\\ \mathrm{s} 10\cdot12=120\\ \mathrm{m}, que é exatamente o comprimento da rampa. Beleza — tudo consistente.

Passo 5

Deslocamento do tráfego durante o tempo que o carro percorre a rampa.
  • O tráfego se move com velocidade constante v_{\text{traf}}=20\\ \mathrm{m/s}.
  • Deslocamento do tráfego em tempo t é \Delta x_{\text{traf}}=v_{\text{traf}}\;t.
  • Substituindo v_{\text{traf}}=20\\ \mathrm{m/s} e t=12\\ \mathrm{s}: \Delta x_{\text{traf}}=20\cdot12=240\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: enquanto o carro sobe a rampa (12 s), os veículos na auto-estrada avançam 240 m.

Resposta

(a) a=\dfrac{5}{3}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}\approx1,67\\ \mathrm{m\,s^{-2}}
(b) t=12\\ \mathrm{s}
(c) \Delta x_{\text{traf}}=240\\ \mathrm{m}

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