Terremotos produzem vários tipos de ondas de vibração. As mais conhecidas são as ondas P (ou primárias) e as ondas S (ou secundárias). Na crosta terrestre as ondas P se propagam a aproximadamente 6,5 \mathrm{~km} / \mathrm{s}, enquanto as S , a aproximadamente a 3,5 \mathrm{~km} / \mathrm{s}. As velocidades reais variam de acordo com os materiais pelo qual atravessam. A defasagem no tempo de chegada dessas ondas a uma estação de registros sísmicos informa aos geólogos a que distância o terremoto ocorreu. Se a defasagem é de 33 s , qual a distância percorrida da estação sísmica o terremoto ocorreu?

Passo 1

O enunciado dá as velocidades das ondas e a defasagem de chegada:
  • Velocidade das ondas P: v_P = 6,5\\ \mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Velocidade das ondas S: v_S = 3,5\\ \mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Defasagem no tempo de chegada (S chega depois de P): \Delta t = 33\\ \mathrm{s}.
O que o problema pede:
  • Determinar a distância d entre o epicentro do terremoto e a estação sísmica (distância percorrida pelas ondas).

Passo 2

Entendendo fisicamente: as ondas P e S saem do mesmo ponto e percorrem a mesma distância d até a estação. Cada onda leva um tempo diferente para percorrer d porque têm velocidades diferentes.
Definições de tempo de chegada:
  • Tempo que a onda P leva: t_P = \dfrac{d}{v_P}.
  • Tempo que a onda S leva: t_S = \dfrac{d}{v_S}.
A diferença observada é
\Delta t = t_S - t_P = \frac{d}{v_S} - \frac{d}{v_P}.
Aqui: \Delta t é conhecido ( 33\\ \mathrm{s}), v_P e v_S são conhecidos; a incógnita é d.

Passo 3

Manipulando a equação para isolar d:
\Delta t = d\!\left(\frac{1}{v_S}-\frac{1}{v_P}\right).
Logo,
d = \frac{\Delta t}{\dfrac{1}{v_S}-\dfrac{1}{v_P}}.
Uma forma algébrica mais prática (para facilitar a conta) é escrever o denominador com um único quociente:
\frac{1}{v_S}-\frac{1}{v_P}=\frac{v_P-v_S}{v_S v_P},
então
d = \Delta t\cdot\frac{v_S v_P}{v_P-v_S}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos (mantendo unidades consistentes: velocidades em \mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}, tempo em \mathrm{s}, assim d fica em \mathrm{km}):
Calcule v_S v_P e v_P - v_S:
v_S v_P = 3,5\cdot 6,5 = 22,75\\ \mathrm{km}^2\,\mathrm{s}^{-2},
v_P - v_S = 6,5-3,5 = 3,0\\ \mathrm{km}\,\mathrm{s}^{-1}.
Então
d = 33\cdot\frac{22,75}{3,0}\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Fazendo a conta final passo a passo:
\frac{22,75}{3,0}=7,583333\ldots
d = 33\cdot 7,583333\ldots = 250,25\\ \mathrm{km}.
Interpretação e dica prática: o resultado significa que o terremoto ocorreu a cerca de 250\\ \mathrm{km} da estação. Como as velocidades dadas são aproximadas (valores típicos da crosta), faz sentido arredondar e apresentar como aproximado. Em prova, verifique sempre unidades e use a fórmula \displaystyle d=\frac{\Delta t}{\tfrac{1}{v_S}-\tfrac{1}{v_P}} — é rápida e confiável.

Resposta

250,25\\ \mathrm{km}\\ \approx\\\ 250\\ \mathrm{km}

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