Um carro percorre metade do percurso a 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e a outra metade a 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Qual a velocidade escalar média no percurso total?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade escalar média no percurso total quando metade da distância é percorrida a \,60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} e a outra metade a \,100\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.
Informações dadas:
\,v_1 = 60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} (velocidade na primeira metade da distância)
\,v_2 = 100\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} (velocidade na segunda metade da distância)
Metade do percurso significa que cada trecho tem distância \,D/2, onde \,D é a distância total (que não foi dada numericamente).

Passo 2

Definição importante que vamos usar: a velocidade escalar média \,\bar{v} em um percurso é o quociente entre a distância total e o tempo total gasto. Em símbolos:
\bar{v}=\frac{D}{T}
onde \,D é a distância total (em km) e \,T é o tempo total (em h).
Aqui cada trecho tem tempo diferente, então precisamos calcular o tempo gasto em cada metade e somá-los para obter \,T.

Passo 3

Calcular o tempo gasto em cada metade do percurso. O tempo é dado por distância dividido pela velocidade. Para a primeira metade (distância \,D/2 e velocidade \,v_1):
t_1=\frac{D/2}{v_1}
Expliquei: dividimos a distância percorrida nesse trecho pela velocidade nesse mesmo trecho; como as unidades de distância estão em km e velocidade em \mathrm{km}/\mathrm{h}, o resultado fica em horas.

Passo 4

Aplicando os números ao \,t_1 e definindo \,t_2 para o segundo trecho:
t_1=\frac{D/2}{60}=\frac{D}{120}
t_2=\frac{D/2}{100}=\frac{D}{200}
Mostrei como simplificar a fração: dividir por 60 é multiplicar por 1/60, então (D/2)\cdot(1/60)=D/(2\cdot60)=D/120.

Passo 5

Somar os tempos para obter o tempo total \,T:
T=t_1+t_2=\frac{D}{120}+\frac{D}{200}
Agora somamos frações com denominadores diferentes. Escolhemos o mínimo múltiplo comum 600:
\frac{D}{120}=\frac{5D}{600},\qquad \frac{D}{200}=\frac{3D}{600}
T=\frac{5D}{600}+\frac{3D}{600}=\frac{8D}{600}=\frac{D}{75}
Portanto o tempo total gasto é \,T=D/75 horas. Repare que \,T ficou proporcional a \,D, o que é esperado.

Passo 6

Calcular a velocidade média usando \,\bar{v}=D/T. Substituímos o \,T que encontramos:
\bar{v}=\frac{D}{D/75}=75
A unidade é \mathrm{km}/\mathrm{h}, pois usamos \mathrm{km} para distância e \mathrm{h} para tempo. Então:
\bar{v}=75\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}
Dica extra (útil na prova): quando duas metades de distância são percorridas a velocidades \,v_1 e \,v_2, a velocidade média é a média harmônica das duas velocidades, ou seja
\bar{v}=\frac{2}{\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2},
o que, neste caso, dá \bar{v}=2\cdot60\cdot100/(60+100)=75\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Isso é bom de decorar: para frações iguais de distância, usa-se média harmônica.

Resposta

75\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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