Problema 6.2 Um emaranhado de fio de forma arbitrária é conectado de modo que transporta uma corrente
da posição
para a posição
em uma região onde existe um campo magnético uniforme externo
. mostrar que a força magnética exercida pelo campo externo no o fio é dado por
Passo 1
O enunciado dá um fio de forma arbitrária que conecta a posição
à posição
. Pelo fio circula uma corrente de intensidade
no sentido de
para
. Há um campo magnético externo uniforme
presente em toda a região.
A pergunta é: mostrar que a força magnética total exercida pelo campo externo sobre o fio é
A pergunta é: mostrar que a força magnética total exercida pelo campo externo sobre o fio é
Informações relevantes do enunciado:
- Corrente:
, sentido de para . - Campo magnético uniforme:
(constante em espaço). - Fio com trajetória arbitrária conectando
e . - Objetivo: calcular a força magnética total sobre todo o fio.
Passo 2
Vamos lembrar e justificar a lei local da força magnética sobre um elemento de fio por onde passa corrente. A força magnética sobre uma carga pontual
que se move com velocidade
é dada pela força de Lorentz:
Num fio com muitas cargas movendo-se em conjunto, a corrente
é a quantidade de carga que atravessa uma seção por unidade de tempo. Considere um pequeno pedaço do fio, de comprimento diferencial
, no qual as cargas se deslocam com velocidade
. Em um intervalo de tempo
atravessa a seção uma carga
relacionada à corrente por
Nesse intervalo a carga viaja um trecho
. A força sobre essa carga diferencial é
Portanto, para um elemento de fio orientado no sentido da corrente vale a fórmula local (padrão em eletromagnetismo):
Passo 3
A força magnética total sobre o fio é a soma (integral) dessas contribuições diferenciais ao longo do caminho
do fio entre
e
. Assim escrevemos:
Passo 4
Como o campo
é uniforme (constante em todo espaço), ele pode ser retirado da integral. Além disso
é constante ao longo do fio. Usando a linearidade do produto vetorial em relação às somas (e ao fator constante), obtemos:
Passo 5
Agora precisamos calcular
. Para ver isso de forma bem direta, parametrize o fio por um parâmetro
com
tal que
e
. Então
Aplicando a integral ao longo do caminho parametrizado:
que é simplesmente o teorema fundamental do cálculo aplicado componente a componente (a integral do diferencial da posição é a diferença das posições finais e iniciais). Note: isso vale para qualquer curva que ligue
a
; o integral do diferencial de posição depende apenas dos extremos, não da forma do caminho.
Passo 6
Substituindo o resultado do passo anterior em (4) temos:
que é exatamente a relação que o enunciado pede para mostrar.
Passo 7
Comentários didáticos e interpretação física curta:
- A fórmula diz que a força magnética total depende apenas da corrente, do vetor deslocamento entre os extremos do fio e do campo uniforme; a forma do fio não importa.
- O sentido de
foi tomado no sentido da corrente (de para ). Se a corrente tivesse o sentido oposto, o resultado mudaria de sinal, o que faz sentido físico. - Exemplo simples para fixar: se
e , então
ou seja, força na direção
.