Problema 6.2 Um emaranhado de fio de forma arbitrária é conectado de modo que transporta uma corrente I_{0} da posição \vec{r}_{1} para a posição \vec{r}_{2} em uma região onde existe um campo magnético uniforme externo B_{0}. mostrar que a força magnética exercida pelo campo externo no o fio é dado por \vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right) \times \vec{B}_{0}

Passo 1

O enunciado dá um fio de forma arbitrária que conecta a posição \vec{r}_{1} à posição \vec{r}_{2}. Pelo fio circula uma corrente de intensidade \,I_{0}\, no sentido de \vec{r}_{1} para \vec{r}_{2}. Há um campo magnético externo uniforme \vec{B}_{0} presente em toda a região.
A pergunta é: mostrar que a força magnética total exercida pelo campo externo sobre o fio é
\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)\times\vec{B}_{0}.
Informações relevantes do enunciado:
  • Corrente: \,I_{0}\,, sentido de \vec{r}_{1} para \vec{r}_{2}.
  • Campo magnético uniforme: \vec{B}_{0} (constante em espaço).
  • Fio com trajetória arbitrária conectando \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}.
  • Objetivo: calcular a força magnética total sobre todo o fio.

Passo 2

Vamos lembrar e justificar a lei local da força magnética sobre um elemento de fio por onde passa corrente. A força magnética sobre uma carga pontual q que se move com velocidade \vec{v} é dada pela força de Lorentz:
\vec{F}_{q}=q\,\vec{v}\times\vec{B}.
Num fio com muitas cargas movendo-se em conjunto, a corrente I é a quantidade de carga que atravessa uma seção por unidade de tempo. Considere um pequeno pedaço do fio, de comprimento diferencial d\vec{\ell}, no qual as cargas se deslocam com velocidade \vec{v}. Em um intervalo de tempo dt atravessa a seção uma carga dq relacionada à corrente por
dq = I\,dt.
Nesse intervalo a carga viaja um trecho d\vec{\ell}=\vec{v}\,dt. A força sobre essa carga diferencial é
d\vec{F} = dq\,\vec{v}\times\vec{B} = (I\,dt)\,\vec{v}\times\vec{B} = I\,(d\vec{\ell}\times\vec{B}).
Portanto, para um elemento de fio orientado no sentido da corrente vale a fórmula local (padrão em eletromagnetismo):
d\vec{F}=I\,d\vec{\ell}\times\vec{B}.

Passo 3

A força magnética total sobre o fio é a soma (integral) dessas contribuições diferenciais ao longo do caminho C do fio entre \vec{r}_{1} e \vec{r}_{2}. Assim escrevemos:
\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=\int_{C} I_{0}\,d\vec{\ell}\times\vec{B}_{0}.

Passo 4

Como o campo \vec{B}_{0} é uniforme (constante em todo espaço), ele pode ser retirado da integral. Além disso I_{0} é constante ao longo do fio. Usando a linearidade do produto vetorial em relação às somas (e ao fator constante), obtemos:
\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}\left(\int_{C} d\vec{\ell}\right)\times\vec{B}_{0}.

Passo 5

Agora precisamos calcular \displaystyle\int_{C} d\vec{\ell}. Para ver isso de forma bem direta, parametrize o fio por um parâmetro t com \vec{r}(t) tal que \vec{r}(a)=\vec{r}_{1} e \vec{r}(b)=\vec{r}_{2}. Então
d\vec{\ell}=d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}\,dt.
Aplicando a integral ao longo do caminho parametrizado:
\int_{C} d\vec{\ell}=\int_{a}^{b}\frac{d\vec{r}}{dt}\,dt=\vec{r}(b)-\vec{r}(a)=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1},
que é simplesmente o teorema fundamental do cálculo aplicado componente a componente (a integral do diferencial da posição é a diferença das posições finais e iniciais). Note: isso vale para qualquer curva que ligue \vec{r}_{1} a \vec{r}_{2}; o integral do diferencial de posição depende apenas dos extremos, não da forma do caminho.

Passo 6

Substituindo o resultado do passo anterior em (4) temos:
\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)\times\vec{B}_{0},
que é exatamente a relação que o enunciado pede para mostrar.

Passo 7

Comentários didáticos e interpretação física curta:
  • A fórmula diz que a força magnética total depende apenas da corrente, do vetor deslocamento entre os extremos do fio e do campo uniforme; a forma do fio não importa.
  • O sentido de d\vec{\ell} foi tomado no sentido da corrente (de \vec{r}_{1} para \vec{r}_{2}). Se a corrente tivesse o sentido oposto, o resultado mudaria de sinal, o que faz sentido físico.
  • Exemplo simples para fixar: se \vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}=L\hat{\imath} e \vec{B}_{0}=B_{0}\hat{k}, então
\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}L\,\hat{\imath}\times B_{0}\hat{k}=I_{0}L B_{0}\,(\hat{\imath}\times\hat{k})=I_{0}L B_{0}(-\hat{\jmath}),
ou seja, força na direção -\hat{\jmath}.

Resposta

\vec{F}_{\mathrm{W}}^{B}=I_{0}\left(\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}\right)\times\vec{B}_{0}

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