Um carro possui preço à vista igual a R 250.000,00 e foi vendido em 84 parcelas mensais e iguais. Sabe-se que a taxa de juros praticada pela loja é deé2 %$ a.m. Responda:
Qual foi o valor da prestação caso tenha sido dada uma entrada de \mathrm{R}60.000,00$ e a primeira parcela do financiamento tenha sido paga 30 dias após a compra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar certinho para não confundir):
  • Preço à vista do carro: \,R\$\,250{.}000{,}00.
  • Entrada dada: \,R\$\,60{.}000{,}00.
  • Número de parcelas mensais e iguais: \,n=84.
  • Taxa de juros mensal: \,i=2\%\,\text{a.m.} = 0{,}02.
  • A primeira parcela foi paga 30 dias após a compra, ou seja, o pagamento é no regime de anuidade imediata (primeiro pagamento no fim do primeiro mês).
O que o problema pede:
  • Calcular o valor da prestação mensal (parcela) paga nos 84 meses.
Informação útil já obtida do enunciado:
  • Valor financiado (presente da dívida) é o preço menos a entrada:
\text{Financiamento} = 250{.}000 - 60{.}000 = 190{.}000.

Passo 2

Entender o modelo financeiro que vamos usar (mini-aula rápida e prática).
Quando temos um financiamento com parcelas mensais iguais e a primeira parcela é paga 1 mês após a liberação (como aqui), isso é uma anuidade ordinária (anuidade imediata). O valor presente PV de uma anuidade com parcelas iguais \,R (cada parcela) a uma taxa por período \,i, em n períodos, é dado por:
PV = R \cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
O que cada símbolo significa:
  • PV: valor presente do que foi financiado (a quantia que precisa ser “equivalida” pelas parcelas hoje).
  • R: valor da parcela mensal (o que queremos achar).
  • i: taxa de juros por período (aqui mensal), em forma decimal ( 2\% = 0{,}02).
  • n: número de parcelas (aqui 84).
Por que essa fórmula? Intuição curta e didática:
  • Cada parcela R paga no fim do mês k tem valor presente R(1+i)^{-k}.
  • Somando essas contribuições de k=1 até k=n dá uma soma geométrica cujo resultado é exatamente a fórmula acima. Se quiser, mostro a derivação detalhada, mas para a prova lembrar essa fórmula é essencial.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao nosso caso:
  • Já definimos PV=190{.}000, i=0{,}02 e n=84.
    Substituindo:
190{.}000 = R \cdot \frac{1-(1+0{,}02)^{-84}}{0{,}02}.
Isolando R:
R = 190{.}000 \cdot \frac{0{,}02}{1-(1{,}02)^{-84}}.

Passo 4

Calcular numericamen te o fator (1{,}02)^{-84} e o denominador.
Vamos aproximar (1{,}02)^{84} e então tomar o inverso.
Uma forma prática (usada em calculadora financeira) é calcular diretamente (1{,}02)^{-84}. Aqui faço uma aproximação com boa precisão usando exponenciais/logaritmos (o objetivo é mostrar como obter um número útil na prova se houver calculadora ou tabela):
  • Primeiro, \ln(1{,}02)\approx 0{,}0198026273.
  • Então \ln\big((1{,}02)^{84}\big)=84\cdot\ln(1{,}02)\approx 1{,}6634206929.
  • Portanto (1{,}02)^{84}\approx e^{1{,}6634206929}\approx 5{,}2804.
  • Logo (1{,}02)^{-84} \approx \dfrac{1}{5{,}2804}\approx 0{,}1893 (arredondando).
Agora o denominador da fração:
1-(1{,}02)^{-84} \approx 1 - 0{,}1893 = 0{,}8107.
Dividindo por i=0{,}02:
\frac{1-(1{,}02)^{-84}}{0{,}02} \approx \frac{0{,}8107}{0{,}02} \approx 40{,}535.

Passo 5

Calcular a parcela R com a aproximação obtida:
R \approx \frac{190{.}000}{40{,}535} \approx 4{.}687{,}01.
Interpretação: cada parcela mensal deve ser cerca de \,R\$\,4.687{,}01 para que, com juros de 2\% ao mês e 84 pagamentos, o valor presente das parcelas equivalha aos \,R\$\,190{.}000 financiados.

Passo 6

Observações finais e dicas para a prova (rápido e prático):
  • Fórmula chave para lembrar: \displaystyle PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}. Isolar R quando souber PV.
  • Cheque sempre se a anuidade é imediata (pagamentos no fim do período) ou antecipada (pagamentos no início). Aqui foi imediata.
  • Em provas, se não puder calcular logaritmos na mão, é aceitável deixar a resposta em forma de expressão e usar calculadora para a parte numérica:
R = 190{.}000\cdot\frac{0{,}02}{1-(1{,}02)^{-84}}.
  • Se quiser, posso mostrar a derivação da fórmula da anuidade (soma geométrica) passo a passo.

Resposta

R\$\,4.687{,}01

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