Substitua três títulos, um de R \ 6.000,00 vencivel em 30 dias, um de R$10.000,00 , vencível em 60 dias e outro de R\í 16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, venciveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial simples da transação é de 4,1% ao mês?

Passo 1

O enunciado dá três títulos com valores nominais e vencimentos:
  • Título A: R\$\,6{.}000,00, vencível em 30 dias.
  • Título B: R\$\,10{.}000,00, vencível em 60 dias.
  • Título C: R\$\,16{.}000,00, vencível em 90 dias.
Eles serão substituídos por dois títulos, ambos com o mesmo valor nominal (que chamaremos de X), com vencimentos:
  • Novo 1: vencível em 90 dias.
  • Novo 2: vencível em 120 dias.
A taxa de desconto comercial simples aplicada à operação é 0,041 ao mês (ou seja, 4{,}1\% ao mês). A pergunta é: qual o valor nominal X comum dos novos títulos?
Observação sobre unidades de tempo (pequeno cuidado prático): vamos medir os prazos em meses, considerando 30 dias = 1 mês, 60 dias = 2 meses, 90 dias = 3 meses e 120 dias = 4 meses.

Passo 2

Aprendendo a fórmula do desconto comercial simples (bancário) — a ferramenta que vamos usar.
Definições e fórmulas:
  • N é o valor nominal do título (o que está escrito no título).
  • d é a taxa de desconto comercial simples por período (aqui por mês), então d=0,041.
  • t é o tempo até o vencimento, em meses.
  • O desconto comercial simples sobre o título é \;D = N\cdot d\cdot t\;.
  • O valor presente recebido hoje (valor líquido descontado, também chamado de valor atual ou valor contado) é
PV = N - D = N\,(1 - d\,t).
Explicação em palavras: no desconto comercial simples calcula-se os “juros” sobre o valor nominal até o vencimento e subtrai-se do nominal; o que resta é o valor que se paga/recebe hoje. É importante entender isso para somar corretamente os valores presentes dos títulos numa troca.

Passo 3

Calcular os valores presentes dos três títulos originais usando \;PV = N(1 - d\,t)\;.
Convertendo prazos em meses: 30 dias \to t_1=1, 60 dias \to t_2=2, 90 dias \to t_3=3. A taxa é d=0,041.
Para o título de R\$\,6{.}000{,}00 ( t_1=1):
D_1 = 6000\cdot 0{,}041\cdot 1 = 246,
PV_1 = 6000 - 246 = 5754.
Para o título de R\$\,10{.}000{,}00 ( t_2=2):
D_2 = 10000\cdot 0{,}041\cdot 2 = 820,
PV_2 = 10000 - 820 = 9180.
Para o título de R\$\,16{.}000{,}00 ( t_3=3):
D_3 = 16000\cdot 0{,}041\cdot 3 = 1968,
PV_3 = 16000 - 1968 = 14032.
Somando os valores presentes dos títulos originais:
PV_{\text{antigos}} = PV_1 + PV_2 + PV_3 = 5754 + 9180 + 14032 = 28966.

Passo 4

Calcular os valores presentes dos dois novos títulos (cada um com nominal X) e impor a condição de equivalência patrimonial (o valor presente total recebido deve ser o mesmo antes e depois da troca).
Prazos dos novos: 90 dias \to t_4=3 meses e 120 dias \to t_5=4 meses. Usando a fórmula:
PV_{\text{novo1}} = X\,(1 - 0{,}041\cdot 3) = X\,(1 - 0{,}123) = X\cdot 0{,}877,
PV_{\text{novo2}} = X\,(1 - 0{,}041\cdot 4) = X\,(1 - 0{,}164) = X\cdot 0{,}836.
O valor presente total dos novos títulos é
PV_{\text{novos}} = X\cdot(0{,}877 + 0{,}836) = X\cdot 1{,}713.
Como a operação apenas troca títulos, os valores presentes devem ser iguais:
PV_{\text{novos}} = PV_{\text{antigos}}.

Passo 5

Montar a equação e resolver para X:
X\cdot 1{,}713 = 28966.
Isolando X:
X = \dfrac{28966}{1{,}713}.

Passo 6

Fazer a divisão e arredondar para centavos (duas casas decimais), lembrando que estamos em reais.
Calculando:
X \approx 16909{,}5155\ldots
Arredondando para centavos:
X \approx 16909{,}52.
Interpretação: cada um dos dois novos títulos terá valor nominal aproximadamente R\$\,16.909{,}52. Se preferir, pode-se arredondar formalmente para cima ou para baixo segundo regras contratuais, mas matematicamente o valor é esse.

Resposta

R\$\,16.909{,}52

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