Substitua três títulos, um de R
6.000,00
$10.000,00
16.000,00 para 90 dias, por dois outros títulos de iguais valores nominais, venciveis em 90 e 120 dias, respectivamente. Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que a taxa de desconto comercial simples da transação é de 4,1% ao mês?
Passo 1
O enunciado dá três títulos com valores nominais e vencimentos:
- Título A:
, vencível em dias. - Título B:
, vencível em dias. - Título C:
, vencível em dias.
Eles serão substituídos por dois títulos, ambos com o mesmo valor nominal (que chamaremos de
), com vencimentos:
- Novo 1: vencível em
dias. - Novo 2: vencível em
dias.
A taxa de desconto comercial simples aplicada à operação é
ao mês (ou seja,
ao mês). A pergunta é: qual o valor nominal
comum dos novos títulos?
Observação sobre unidades de tempo (pequeno cuidado prático): vamos medir os prazos em meses, considerando
dias =
mês,
dias =
meses,
dias =
meses e
dias =
meses.
Passo 2
Aprendendo a fórmula do desconto comercial simples (bancário) — a ferramenta que vamos usar.
Definições e fórmulas:
-
é o valor nominal do título (o que está escrito no título). -
é a taxa de desconto comercial simples por período (aqui por mês), então . -
é o tempo até o vencimento, em meses. - O desconto comercial simples sobre o título é
. - O valor presente recebido hoje (valor líquido descontado, também chamado de valor atual ou valor contado) é
Explicação em palavras: no desconto comercial simples calcula-se os “juros” sobre o valor nominal até o vencimento e subtrai-se do nominal; o que resta é o valor que se paga/recebe hoje. É importante entender isso para somar corretamente os valores presentes dos títulos numa troca.
Passo 3
Calcular os valores presentes dos três títulos originais usando
.
Convertendo prazos em meses: dias
,
dias
,
dias
. A taxa é
.
Convertendo prazos em meses:
Para o título de
(
):
Para o título de
(
):
Para o título de
(
):
Somando os valores presentes dos títulos originais:
Passo 4
Calcular os valores presentes dos dois novos títulos (cada um com nominal
) e impor a condição de equivalência patrimonial (o valor presente total recebido deve ser o mesmo antes e depois da troca).
Prazos dos novos:
dias
meses e
dias
meses. Usando a fórmula:
O valor presente total dos novos títulos é
Como a operação apenas troca títulos, os valores presentes devem ser iguais:
Passo 5
Montar a equação e resolver para
:
Isolando
:
Passo 6
Fazer a divisão e arredondar para centavos (duas casas decimais), lembrando que estamos em reais.
Calculando:
Arredondando para centavos:
Interpretação: cada um dos dois novos títulos terá valor nominal aproximadamente
. Se preferir, pode-se arredondar formalmente para cima ou para baixo segundo regras contratuais, mas matematicamente o valor é esse.