Considere a onda harmônica propagando-se numa corda, descrita pela função
y_{1}(x, t)=0,02 \operatorname{sen}(\pi x-10 \pi t),
onde y_{1} e x são dados em metros e t em segundos. (a) Qual a onda harmônica y_{2}(x, t) que deve ser adicionada para que a onda resultante y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) descreva uma onda estacionária com amplitude 0,04 \mathrm{~m} ? Escreva explicitamente y(x, t). (b) Supondo que as extremidades x=0 e x=L da corda estejam fixas, quais são os valores de L que provocam os modos normais de vibração? (c) Repita o item (b) para a situação em que uma das extremidades esteja livre para se movimentar na vertical (com a corda ainda tensionada). Resposta: (b) L=1,2,3, \ldots \mathrm{~m}; (c) L=1 / 2,3 / 2,5 / 2 \ldots \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece a onda viajante
y_{1}(x,t)=0,02\operatorname{sen}(\pi x-10\pi t),
com y_{1} e x em metros e t em segundos. As perguntas são: (a) qual onda y_{2}(x,t) devemos adicionar para que a soma y(x,t)=y_{1}+y_{2} seja uma onda estacionária com amplitude 0,04\\ \mathrm{m} e escrever explicitamente y(x,t); (b) supondo as extremidades x=0 e x=L fixas, quais valores de L produzem modos normais; (c) repetir (b) se uma das extremidades estiver livre para se movimentar verticalmente (a outra permanece fixa).
Informações relevantes extraídas do enunciado: a forma de y_{1}, o coeficiente de amplitude 0,02\\ \mathrm{m}, a frequência angular implícita no argumento temporal e o número de onda implícito no argumento espacial; o valor desejado da amplitude da onda estacionária 0,04\\ \mathrm{m}; condições de contorno para (b) e (c).

Passo 2

Identificar as quantidades-chave da onda viajante y_{1}. Uma onda harmônica progressiva unidimensional geral é escrita como \;A\operatorname{sen}(kx-\omega t)\;, onde:
\begin{aligned} A &\text{ é a amplitude (m)},\\\ k &\text{ é o número de onda (rad/m)},\\\ \omega &\text{ é a frequência angular (rad/s)}. \end{aligned}ééúéê
Comparando \;y_{1}(x,t)=0,02\operatorname{sen}(\pi x-10\pi t)\; com \;A\operatorname{sen}(kx-\omega t)\;, obtemos:
A=0,02,\qquad k=\pi,\qquad \omega=10\pi.
Explicando: k=\pi significa que a fase varia \pi rad por metro, e \omega=10\pi significa que a fase varia 10\pi rad por segundo. A velocidade de propagação da onda é dada por \;v=\dfrac{\omega}{k}\;, então
v=\frac{10\pi}{\pi}=10\\ \mathrm{m/s}.
(Isto é só para você ter noção da onda; não é obrigatório para encontrar a onda estacionária, mas ajuda a entender o preparo.)

Passo 3

Entender como nasce uma onda estacionária por superposição. Quando duas ondas progressivas de mesma amplitude A, mesma frequência angular \omega e mesmo número de onda k se propagam em sentidos opostos, por exemplo
A\operatorname{sen}(kx-\omega t)\quad\text{e}\quad A\operatorname{sen}(kx+\omega t),
a soma delas forma uma onda estacionária. Para ver isso usamos a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}\alpha+\operatorname{sen}\beta=2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Se aplicarmos com \alpha=kx-\omega t e \beta=kx+\omega t, obtemos
\operatorname{sen}(kx-\omega t)+\operatorname{sen}(kx+\omega t)=2\operatorname{sen}(kx)\cos(\omega t).
Dessa forma a oscilação passa a ser produto de uma função espacial \operatorname{sen}(kx) (o perfil fixo da amplitude) e uma função temporal \cos(\omega t) (a oscilação no tempo). A amplitude espacial máxima da onda estacionária será 2A, porque o fator 2A\operatorname{sen}(kx) tem amplitude máxima 2A quando \operatorname{sen}(kx)=\pm1.

Passo 4

Aplicar isso ao nosso caso para garantir amplitude 0,04\\ \mathrm{m}. A y_{1} dada tem amplitude A=0,02\\ \mathrm{m}. Para obter uma onda estacionária cuja amplitude máxima seja 0,04\\ \mathrm{m} precisamos que a soma produza fator 2A=0,04\\ \mathrm{m}. Logo basta somar a uma onda com mesma amplitude outra onda que se propague no sentido contrário com o mesmo k e \omega. Assim escolhemos
y_{2}(x,t)=0,02\operatorname{sen}(\pi x+10\pi t).
Agora somamos y_{1}+y_{2}. Usando a identidade do passo anterior:
\begin{aligned} y(x,t)&=y_{1}+y_{2}=0,02\operatorname{sen}(\pi x-10\pi t)+0,02\operatorname{sen}(\pi x+10\pi t)\\[4pt] &=0,04\operatorname{sen}(\pi x)\cos(10\pi t). \end{aligned}
Explicando em palavras: cada componente tem amplitude 0,02; somando duas dessas em sentidos opostos obtemos uma onda estacionária com amplitude máxima 2\cdot0,02=0,04\\ \mathrm{m}. O perfil espacial é \operatorname{sen}(\pi x) e a oscilação temporal é \cos(10\pi t).]

Passo 5

Tratar o item (b): extremidades em x=0 e x=L fixas. Para uma corda com extremidades fixas, a condição de contorno é que o deslocamento vertical seja zero nas extremidades para todo tempo:
y(0,t)=0\quad\text{e}\quad y(L,t)=0\quad\text{para todo }t.
Aplicando y(x,t)=0,04\operatorname{sen}(\pi x)\cos(10\pi t):
  • Em x=0:
y(0,t)=0,04\operatorname{sen}(0)\cos(10\pi t)=0,
que já é satisfeito automaticamente (boa notícia).
  • Em x=L:
y(L,t)=0,04\operatorname{sen}(\pi L)\cos(10\pi t)=0\quad\text{para todo }t.
Para que isso valha para todo t (ou seja, para todos os instantes), é necessário que \operatorname{sen}(\pi L)=0. As raízes de \operatorname{sen}(\theta)=0 são \theta=n\pi, com n inteiro. Portanto
\pi L = n\pi \quad\Rightarrow\quad L=n,
onde n é inteiro positivo ( n=1,2,3,\ldots ). Assim os comprimentos que suportam modos normais são
L=1,\\\ 2,\\\ 3,\\ \ldots\\ \mathrm{m}.
Interpretação física: cada modo normal tem n semilongitudes de onda ajustadas de modo que haja nós em ambas as extremidades.

Passo 6

Tratar o item (c): uma extremidade livre (verticalmente) e a outra fixa. Sem perda de generalidade suponha que x=0 é fixa e x=L é livre (a assinatura do problema não especifica qual extremidade é livre; o resultado é o mesmo, apenas trocando posição). Condições:
y(0,t)=0\quad\text{(fixa)},\qquad \left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x=L}=0\quad\text{(extremidade livre)},
porque numa extremidade livre não há força transversal, o que implica inclinação nula ( \partial y/\partial x=0) para todo t.
Usando y(x,t)=0,04\operatorname{sen}(\pi x)\cos(10\pi t), primeiro em x=0 temos novamente y(0,t)=0 satisfeito. Agora a condição de extremidade livre:
\frac{\partial y}{\partial x}=0,04\cdot \pi \cos(\pi x)\cos(10\pi t).
Avaliada em x=L, e exigindo ser zero para todo tempo, dá
\cos(\pi L)=0.
As raízes de \cos(\theta)=0 são \theta=(2n+1)\frac{\pi}{2} com n inteiro ( n=0,1,2,\ldots ). Portanto
\pi L = \left(2n+1\right)\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{2n+1}{2}.
Isto fornece os valores
L=\tfrac{1}{2},\\ \tfrac{3}{2},\\ \tfrac{5}{2},\\ \ldots\\ \mathrm{m},
isto é, L=(2n+1)/2 metros com n=0,1,2,\ldots. Esses comprimentos correspondem a modos nos quais há um nó na extremidade fixa e um ventre (antinode) na extremidade livre.

Resposta

(a) y_{2}(x,t)=0,02\operatorname{sen}(\pi x+10\pi t) e \;y(x,t)=0,04\operatorname{sen}(\pi x)\cos(10\pi t).
(b) L=1,2,3,\ldots\\ \mathrm{m}.
(c) L=\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2},\tfrac{5}{2},\ldots\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados