Um carro sai de uma interseção dirigindo-se ao leste. Sua posição, t segundos mais tarde é dada por x=t^2+t metros. Ao mesmo tempo, outro carro deixa a mesma interseção, dirigindo-se ao norte, percorrendo y=t^2+3 t metros em t segundos. Determine a razão pela qual a distância entre os carros irá variar cinco segundos mais tarde.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois carros saindo da mesma interseção em t=0: um vai para o leste com
x(t)=t^2+t
e o outro vai para o norte com
y(t)=t^2+3t
Queremos a taxa de variação da distância entre eles em t=5. O conteúdo aplicado é “taxas relacionadas” e uso da regra da cadeia em derivadas.

Passo 2

Primeiro, obtemos as velocidades instantâneas dos carros:
dxdt = 2t+1, dydt = 2t+3

Passo 3

A distância entre os carros em função de t é
D(t)=raizx(t)^2 + y(t)^2
Derivando em relação a t pela regra da cadeia, vem
dDdt = 12raizx^2+y^2cdot 2l(x,dxdt + y,dydtr) = x,dxdt + y,dydtraizx^2+y^2

Passo 4

Agora avaliamos em t=5. Temos
x(5)=5^2+5=30, y(5)=5^2+3cdot5=40,
dxdt|5=2cdot5+1=11, dydt|5=2cdot5+3=13,
e a distância
D(5)=raiz30^2+40^2=50
Logo
dDdt|5 = 30cdot11 + 40cdot1350 = 330 + 52050 = 85050 =17

Resposta

A distância entre os carros está aumentando a ,17 m/s em t=5.

Exercícios relacionados