Considere a função f(x)=12 x-raizx. Determine:
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a análise completa da função
f(x)=12x-raizx,,
ou seja: domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade e extremos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço de gráfico. Vamos usar conhecimentos de domínio de radicais, cálculo de derivadas e comportamento assintótico.

Passo 2

Determinar o domínio de f. A raiz quadrada raizx exige
x>= 0
Logo o domínio é
Dom(f) = [0,infty)

Passo 3

Encontrar os zeros e checar assíntotas.
Resolvemos f(x)=0:
12x - raizx = 0 Longrightarrow raizxl(12raizx-1r)=0
que dá raizx=0 (isto é, x=0) ou 12raizx-1=0 (isto é, raizx=2, x=4).
Zeros: x=0 e x=4.
Assíntotas verticais ocorreriam onde ftopminfty dentro do domínio; como em xto0^+ temos f(x)to0 e em xtoinfty f(x)toinfty, não há assíntotas verticais.
Para verificar oblíquas, testamos uma reta y=mx+b. Como
f(x)-12x = -raizxto -infty (xtoinfty),
não há diferença limitada a uma constante, logo não há assíntotas oblíquas.

Passo 4

Estudar monotonicidade e extremos via f'(x).
Derivando:
f'(x)=ddxl(tfrac12xr)-ddxl(x^1/2r) =12 - 12raizx
Igualando a zero:
12-12raizx=0 Longrightarrow raizx=1 Longrightarrow x=1
Para 0<x<1, raizx<1 implica f'(x)<0 (decrescente).
Para x>1, raizx>1 implica f'(x)>0 (crescente).
Logo x=1 é ponto de mínimo local.
Valor:
f(1)=tfrac12cdot1 -1 = -tfrac12

Passo 5

Estudar concavidade e pontos de inflexão via f''(x).
Derivando f'(x):
f''(x) =ddxl(-tfrac12x^-1/2r) =-tfrac12,l(-tfrac12r)x^-3/2 =14,x^3/2(x>0)
Aqui f''(x)>0 para todo x>0, portanto f é côncava para cima em (0,infty) e não há ponto de inflexão.

Passo 6

Esboçar o gráfico.
  • Domínio [0,infty).
  • Zeros em (0,0) e (4,0).
  • Mínimo local em l(1,-tfrac12r).
  • Decrescente de 0 a 1, crescente de 1 em diante.
  • Côncava para cima em todo o domínio interior.
  • f(x)toinfty conforme xtoinfty.
No esboço, marcam-se os pontos citados, mostra-se o vale em x=1 e a função subindo para a direita, sempre curvando para cima.

Resposta

Domínio: [0,infty)
Zeros: x=0 e x=4
Assíntotas: nenhuma
Monotonicidade: decrescente em (0,1), crescente em (1,infty)
Extremo: mínimo local em l(1,-tfrac12r)$ Concavidade: côncava para cima em $(0,infty)ô, sem pontos de inflexão
Esboço: conforme descrito no Passo 6.

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