Considere a função
. Determine:
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.
a) O dominio, os zeros e assintotas.
b) Intervalos de crescimento/decrescimento, máximos e minimos.
c) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão.
d) Faça um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado pede a análise completa da função
ou seja: domínio, zeros, assíntotas, monotonicidade e extremos, concavidade e pontos de inflexão, e por fim um esboço de gráfico. Vamos usar conhecimentos de domínio de radicais, cálculo de derivadas e comportamento assintótico.
Passo 2
Determinar o domínio de
. A raiz quadrada
exige
Logo o domínio é
Passo 3
Encontrar os zeros e checar assíntotas.
Resolvemos :
Resolvemos
que dá
(isto é,
) ou
(isto é,
,
).
Zeros: e
.
Zeros:
Assíntotas verticais ocorreriam onde
dentro do domínio; como em
temos
e em
, não há assíntotas verticais.
Para verificar oblíquas, testamos uma reta . Como
Para verificar oblíquas, testamos uma reta
não há diferença limitada a uma constante, logo não há assíntotas oblíquas.
Passo 4
Estudar monotonicidade e extremos via
.
Derivando:
Derivando:
Igualando a zero:
Para
,
implica
(decrescente).
Para ,
implica
(crescente).
Logo é ponto de mínimo local.
Valor:
Para
Logo
Valor:
Passo 5
Estudar concavidade e pontos de inflexão via
.
Derivando :
Derivando
Aqui
para todo
, portanto
é côncava para cima em
e não há ponto de inflexão.
Passo 6
Esboçar o gráfico.
- Domínio
. - Zeros em
e . - Mínimo local em
. - Decrescente de
a , crescente de em diante. - Côncava para cima em todo o domínio interior.
-
conforme .
No esboço, marcam-se os pontos citados, mostra-se o vale em
e a função subindo para a direita, sempre curvando para cima.
Resposta
Domínio:
Zeros: e
Assíntotas: nenhuma
Monotonicidade: decrescente em , crescente em
Extremo: mínimo local em , sem pontos de inflexão
Esboço: conforme descrito no Passo 6.
Zeros:
Assíntotas: nenhuma
Monotonicidade: decrescente em
Extremo: mínimo local em
Esboço: conforme descrito no Passo 6.