4.8V Seja
a porção do cilindro
, que jaz entre os planos
e
. Admita a densidade constante
e calcule: (a) a massa de
; e (b) o momento de inércia
de
. [resp. (a)
; (b)
.]
Passo 1
O enunciado define
como a superfície cilíndrica
cortada pelos planos
e
(com
). Temos densidade superficial constante
e queremos (a) a massa de
e (b) o momento de inércia em torno do eixo
. Para isso vamos parametrizar
por um ângulo
e a coordenada
, achar o elemento de área
e determinar os limites em
.
Passo 2
Parametrização clássica da reta geratriz no plano
:
com
variando entre os valores em que
e
. Do plano
vem
logo definimos
O módulo do produto vetorial
é
, então
e os limites são
,
.
Passo 3
Massa de
:
Substituindo
:
Passo 4
Momento de inércia em torno de
:
Na superfície vale
e
, logo
Então
Como
, obtemos
Resposta
(a)
(b)