4.8V Seja S a porção do cilindro x^2+y^2=2 a x, a>0,0 <= z <= 1, que jaz entre os planos x=2 a e x=b, 0<b<2 a. Admita a densidade constante rho0 e calcule: (a) a massa de S; e (b) o momento de inércia Iz de S. [resp. (a) 2 a rho0 arcsen(1a raiz2 a b-b^2); (b) 4 a^2 rho0(a+raiz2 a b-b^2).]

Passo 1

O enunciado define S como a superfície cilíndrica
x^2+y^2=2ax, a>0, 0<= z<=1,
cortada pelos planos x=b e x=2a (com 0<b<2a). Temos densidade superficial constante rho0 e queremos (a) a massa de S e (b) o momento de inércia em torno do eixo z. Para isso vamos parametrizar S por um ângulo phi e a coordenada z, achar o elemento de área dS e determinar os limites em phi.

Passo 2

Parametrização clássica da reta geratriz no plano xy:
x(phi,z)=a+acosphi, y(phi,z)=asinphi, z=z,
com phi variando entre os valores em que x=b e x=2a. Do plano x=b vem
a+acosphi=bLongrightarrowcosphi=b-aa,
logo definimos
phi0=arccos!l(tfracb-aar) =arcsin!l(tfracraiz2ab-b^2ar)
O módulo do produto vetorial partialphi rtimespartialz r é a, então
dS=a,dphi,dz,
e os limites são phiin[-phi0,phi0], zin[0,1].

Passo 3

Massa de S:
m=rho0integral duplaSdS =rho0integral0^1!integral-phi0^phi0a,dphi,dz =2a,rho0,phi0
Substituindo phi0:
boxedm =2a,rho0, arcsin!l(tfracraiz2ab-b^2ar)

Passo 4

Momento de inércia em torno de z:
Iz =rho0integral duplaS(x^2+y^2),dS
Na superfície vale x^2+y^2=2ax e x=a+acosphi, logo
x^2+y^2=2al(a+acosphir)=2a^2(1+cosphi)
Então
Iz =rho0integral0^1!integral-phi0^phi0 2a^2(1+cosphi),a,dphi,dz =4a^3rho0l(phi0+sinphi0r)
Como sinphi0=tfracraiz2ab-b^2a, obtemos
Iz =4a^3rho0l( arcsin!tfracraiz2ab-b^2a +tfracraiz2ab-b^2ar) =4a^2rho0l( a,arcsin!tfracraiz2ab-b^2a +raiz2ab-b^2r)

Resposta

(a)
m=2a,rho0, arcsin!l(tfracraiz2ab-b^2ar)
(b)
Iz =4a^2rho0l( a,arcsin!l(tfracraiz2ab-b^2ar) +raiz2ab-b^2r)

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