O carro A sai da origem das coordenadas x em t=0 s do repouso no sentido x positivo. O carro B percorre o eixo x no mesmo sentido do carro A (ou seja, x positivo) e passa pela origem em t=3,0 s com velocidade escalar constante igual a 20 m / s. A aceleração do carro A é constante e vale 3,0 m / s^2. Calcule o instante t1 em que B ultrapassa A , se houver, e o instante t2 em que A ultrapassa B , se houver.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos dois carros, A e B, se movendo na mesma direção (eixo x positivo). O carro A parte da origem em $ t = 0 $ com aceleração constante de $ 3,0 , m/s^2 $. O carro B passa pela origem em $ t = 3,0 $ segundos com velocidade constante de $ 20 , m/s t = 0 t_1 3,0 , m/s^2 t_2 $).
Para resolver, vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para o carro A e do movimento uniformemente variado para o carro B.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a posição de cada carro em função do tempo.
Para o carro A, que parte do repouso com aceleração constante:
xA(t) = 12 aA t^2
onde $ a_A = 3,0 , m/s^2 $.
Para o carro B, que passa pela origem em $ t = 3,0 $ s com velocidade constante:
aA = 3,0 , m/s^2
onde $ v_B = 20 , m/s $. Note que subtraímos 3 segundos porque o carro B começa seu movimento a partir deste instante.

Passo 3

Queremos encontrar os instantes em que $ x_A(t) = x_B(t) $, ou seja, quando as posições dos dois carros são iguais.
Igualando as duas expressões:
xA(t) = xB(t)
Substituindo os valores conhecidos:
12 aA t^2 = vB (t - 3)
Simplificando:
12 times 3,0 times t^2 = 20 (t - 3)

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para obter uma equação quadrática igualada a zero:
1,5 t^2 - 20 t + 60 = 0
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
3 t^2 - 40 t + 120 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática $ 3 t^2 - 40 t + 120 = 0 $ utilizando a fórmula de Bhaskara:
3 t^2 - 40 t + 120 = 0
onde $ a = 3 $, $ b = -40 $ e $ c = 120 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 6

Agora, calculamos os valores de $ t $:
t
Simplificando:
t = 40 pm raiz1606
Então:
raiz160 = 12,649
t1 = 40 + 12,6496 approx 52,6496 approx 8,774 , s

Resposta

O carro B ultrapassa o carro A em aproximadamente $ t_1 = 8,77 $ segundos e o carro A ultrapassa o carro B em aproximadamente $ t_2 = 4,56 $ segundos.

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